1、高考资源网（） 您身边的高考专家第六节双曲线1双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程2双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质知识点一双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点|MF1|MF2|2a|F1F2|为双曲线的焦距2a|F1F2|易误提醒双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|则轨迹不存在自测练习1已知F为双曲线C：1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析：由双曲线方程知，b4，a3，c5，则虚轴长为8，则|PQ|16，由左焦点F(5,0
2、)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|PA|2a，|QF|QA|2a，两式相加得|PF|QF|(|PA|QA|)4a，则|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF的周长为281644.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；顶点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c 实虚轴线段A1A2叫
3、作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为a，b，c关系c2a2b2(ca0，cb0)易误提醒(1)双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0a.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a，b，c的大小关系：在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率
4、为.自测练习2“m0，解得m10，故“m0)的离心率为2，则a()A2 B. C. D1解析：因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.答案：D4已知F是双曲线1(a0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则POF的大小不可能是()A15 B25C60 D165解析：两条渐近线yx的倾斜角分别为30，150，0POF30或1500，b0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：依题意，A(a，b)，以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O
5、两点(O为坐标原点)，c4，4，a2，b212.故双曲线C的方程为1.答案：A3已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4C.2 D.2解析：由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1|2a2.答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，
6、且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混考点二渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点归纳起来常见的命题探究角度有：1已知离心率求渐近线方程2已知渐近线求离心率3由离心率或渐近线确定双曲线方程4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围探究一已知离心率求渐近线方程1已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()AyxByxCyx Dyx解析：因为e21，所以，所以，所以yx.答案：C探究二已知渐近线求离心率2(2016海
7、淀模拟)已知双曲线1的一条渐近线为y2x，则双曲线的离心率为_解析：由题意知2，得b2a，ca，所以e.答案：探究三由离心率或渐近线求双曲线方程3(2016宜春一模)已知双曲线1的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()A5x21 B.1C.1 D5x21解析：抛物线的焦点为F(1,0)，c1.又，a，b2c2a21.故所求方程为5x21，故选D.答案：D探究四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e.答
8、案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分|m|或|m|讨论(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用考点三直线与双曲线的位置关系|(2016汕头模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，A(1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e2.设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP，AQ分别与直线x交于M，N两点，求证：MF2NF2.解(1)由题可知a1.e2.c2.a2b2c2，b，双曲线C的方程为x21.(2)设直线l的方程为x
9、ty2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得(3t21)y212ty90，则y1y2，y1y2.又直线AP的方程为y(x1)，将x代入，得M.同理，直线AQ的方程为y(x1)，将x代入，得N.，.0，MF2NF2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入(2)与中点有关的问题常用点差法注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的
10、距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t ，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，又一条渐近线为yx，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.t4，点D的坐标为(4，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点
11、，且点P是线段AB的中点？易错点析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程成为2x24x30.162480，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点
12、横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上答案：DA组考点能力演练1双曲线1(0m0，b0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面积是9，则ab的值等于()A4 B5C6 D7解析：由|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|9，得c29a2.又，a4，c5，b3.ab7.答案：D4已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点F1(c,0)，F2(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：依题意，a2b2m2n2c2，c2am,2n22m
13、2c2，得a4m，c2m，e.答案：D5已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(1,2C(1， D(1,3解析：因为P为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|2a|PF2|，所以|PF2|4a24a8a，当且仅当|PF2|2a，|PF1|4a时，等号成立，可得2a4a2c，解得e3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_解析：易知P，又P
14、F1F2，tan ，即，即e22e0，e，12.，则双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx7设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为_解析：由双曲线的定义|PF1|PF2|2a，又|PF1|3|PF2|，|PF1|3a，|PF2|a.又点P在以F1F2为直径的圆上，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(3a)2a2(2c)2，e.答案：8已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，其中一条渐近线为yx，点A在双曲线C上，若|F1A|2|F2A|，则cos AF2F1_.解析：双曲线的一
15、条渐近线方程为yx，则ba，c2a.在AF2F1中，由|F1A|2|F2A|，|F1A|F2A|2a，得|F1A|4a，|F2A|2a，|F1F2|4a，cosAF2F1.答案：9直线l：y(x2)和双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程解：(1)设双曲线C：1过一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，所以tan
16、30.于是e211，所以e.(2)由于，于是设双曲线方程为1(k0)，即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中，得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|22 ，求得k21.故所求双曲线方程为y21.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2y24y40，双曲线的左、右顶点A，B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，试在“8”字形曲线上
17、求一点P，使得F1PF2是直角解：(1)设双曲线的方程为1(a0，b0)，在已知圆的方程中，令y0，得x240，即x2，则双曲线左、右顶点为A(2,0)，B(2,0)，于是a2.令y2，可得x280，解得x2，即双曲线过点(2，2)，则1，b2.所以所求双曲线方程为1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F1(2，0)，F2(2，0)当F1PF290时，设点P(x，y)，若点P在双曲线上，得x2y24，由0，得(x2)(x2)y20，即x28y20.由解得所以P1(，)，P2(，)，P3(，)，P4(，)若点P在上半圆上，则x2y24y40(y2)，由0，得(x2)(x2)y20，即x2y280，
18、由无解同理，点P在下半圆也没有符合题意的点综上，满足条件的点有4个，分别为P1(，)，P2(，)，P3(，)，P4(，)B组高考题型专练1(2015高考全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选D.答案：D2(2015高考重庆卷)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F
19、作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A BC1 D解析：由题意，得A1(a,0)，A2(a,0)，F(c,0)，将xc代入双曲线方程，解得y，不妨设B，C，则kA1B，kA2C，根据题意，有1，整理得1，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，故选C.答案：C3(2015高考四川卷)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2C6 D4解析：由双曲线的标准方程x21得，右焦点F(2,0)，两条渐近线方程为yx，直线AB：x2，所以不妨取A(2,2)，B(2，2)，则|AB|4，选D.答案：D4(2
20、015高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.解析：因为(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，所以1b24，则b.答案：5(2015高考山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析：由题意，双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由解得或故A.所以kAF.由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF1，即1，整理得b2a2，所以c2a2b2a2，故ca，即e.答案：高考资源网版权所有，侵权必究！