1、2015-2016学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知=（2，x，5），=（4，6，y），若，则（）Ax=3，y=10Bx=6，y=10Cx=3，y=15Dx=6，y=152已知a，b，c为非零常数，则下列命题正确的是（）A若ab，则a2b2B若ab，则acbcC若ab，则ac2bc2D若ab，则3设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=1，S4=22，则S6=（）A49B51C53D554“x，yR，x2+y2=0”是“xy=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
2、件D既不充分也不必要条件5若不等式x2+mxm0，的解集为R，则实数m的取值范围是（）Am4或m0Bm0或m4C4m0D0m46命题p：xR，2x+2x2，q：x0R，x02x0+1=0，则（）Apq为真命题Bpq为真命题Cp为真命题D（p）（q）为真命题7若双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为2xy=0，则它的离心率为（）AB2CD8在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若a+b+c=10，SABC=5，A=60，则a=（）A1B2C3D49若正实数a，b满足a+2b=1，则下列说法正确的是（）Aab有最大值B +有最小值5C +有最大值1+Da2+4b2有最小值10已知椭圆+
3、=1（ab0）与双曲线=1（m0，n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）ABCD二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上11在等比数列an中，a1+a3=9，a2+a4=6，则a4+a6=12已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=+确定的点P与A，B，C共面，那么=13若x，y满足，则z=x+y的最大值为14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测的公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75的
4、方向上，仰角为60，则此山的高度CD=m15已知F是双曲线C：x2y2=1的右焦点，P是C的左支上一点，点A（0，），则APF周长的最小值为三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知p：3x24ax+a20（a0），q：，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围17在ABC中a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bcosA=asinB（）求角A（）若a=2，求bc的最大值18已知数列an满足：a1=1，公差d0，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn19已知过抛
5、物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点，且|AB|=（）求该抛物线的方程（）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+，求的值20试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题：如图，已知四边形ABCD和BCEF均为直角梯形，ADBC，CEBF，且BCD=BCE=90，平面ABCD平面PCEF，BC=CD=CE=2AD=2BF=2（）证明：AF平面BDE（）求锐二面角ADEB的余弦值21已知抛物线C1：y2=4x的焦点F也是椭圆C2： +=1（ab0）的一个焦点，C1与C2的公共弦长为（）求椭圆C2的方程；（）过椭圆C2的右焦
6、点F作斜率为k（k0）的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点为P，过点P做垂直于AB的直线交x轴于点D，试求的取值范围2015-2016学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知=（2，x，5），=（4，6，y），若，则（）Ax=3，y=10Bx=6，y=10Cx=3，y=15Dx=6，y=15【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程组，求出x、y的值【解答】解：=（2，x，5），=（4，6，y），且，设=，R，则
7、，解得，即x=3，y=10故选：A2已知a，b，c为非零常数，则下列命题正确的是（）A若ab，则a2b2B若ab，则acbcC若ab，则ac2bc2D若ab，则【考点】不等式的基本性质【分析】取特殊值，判断A；若c0，B不成立，通过讨论ab的符号，D不成立，从而求出答案【解答】解：a，b，c为非零常数，对于A：令a=2，b=0，不成立，故A错误；对于B：若c0，不成立，故B错误；对于C：c20，若ab，则ac2bc2，成立，故C正确；对于D：若ab同号，成立，若ab异号，不成立，故D错误；故选C3设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=1，S4=22，则S6=（）A49B51C53D55【考点
8、】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1=1，S4=22，d=22，解得d=3则S6=61+=51故选：B4“x，yR，x2+y2=0”是“xy=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由x2+y2=0得x=y=0，则xy=0成立，若x=1，y=0，满足xy=0，但x2+y2=0不成立，故“x，yR，x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件，故选：A5若不等式x2+mxm0，的解
9、集为R，则实数m的取值范围是（）Am4或m0Bm0或m4C4m0D0m4【考点】一元二次不等式的解法【分析】不等式x2+mxm0的解集为R，需0，解出即可【解答】解：x2+mxm0的解集为R，=m2+4m0，解得：4m0故选：C6命题p：xR，2x+2x2，q：x0R，x02x0+1=0，则（）Apq为真命题Bpq为真命题Cp为真命题D（p）（q）为真命题【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假【解答】解：命题p：xR，2x+2x2，是真命题，xR，x2x+10，故q：x0R，x02x0+1=0，是假命题，故pq是真命题，pq是假命题，p是假命题，故选：A
10、7若双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为2xy=0，则它的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2a，求得c，由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，由题意可得=2，即b=2a，c=a，可得e=故选：C8在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若a+b+c=10，SABC=5，A=60，则a=（）A1B2C3D4【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=10以及余弦定理，即可求a【解答】解：在ABC中，SABC=bcsinA=bcsin60=5，bcs
11、in60=5，bc=20，a+b+c=10，10a=b+c由余弦定理可得，a2=b2+c22bccos60=（b+c）23bc=（10a）260，解得a=2故选：B9若正实数a，b满足a+2b=1，则下列说法正确的是（）Aab有最大值B +有最小值5C +有最大值1+Da2+4b2有最小值【考点】基本不等式【分析】由基本不等式求最值和二次函数求最值，逐个选项验证可得【解答】解：正实数a，b满足a+2b=1，1=a+2b2，ab，当且仅当a=2b即a=且b=时取等号，故ab有最大值，A错误；由正实数a，b满足a+2b=1可得+=（+）（a+2b）=3+3+2，故B错误；（+）2=a+2b+2=1
12、+21+2=2，故C错误；由a+2b=1可得a=12b，由12b0可得b，故0b，a2+4b2=（12b）2+4b2=8b24b+1，故当b=时，式子取最小值，D正确故选：D10已知椭圆+=1（ab0）与双曲线=1（m0，n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e【解答】解：由椭圆和双
13、曲线有相同的焦点，可得a2b2=m2+n2=c2，由c是a，m的等比中项，可得c2=am；由n2是2m2与c2的等差中项，可得2n2=2m2+c2可得m=，n2=+c2，即有+c2=c2，化简可得，a2=4c2，即有e=故选：B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上11在等比数列an中，a1+a3=9，a2+a4=6，则a4+a6=【考点】等比数列的通项公式【分析】设等比数列an的公比为q，由于a1+a3=9，a2+a4=6，可得a2+a4=6=q（a1+a3），解得q利用a4+a6=q2（a2+a4），即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为
14、q，a1+a3=9，a2+a4=6，a2+a4=6=q（a1+a3）=9q，解得q=则a4+a6=q2（a2+a4）=6=故答案为：12已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=+确定的点P与A，B，C共面，那么=【考点】空间向量的基本定理及其意义【分析】利用向量共面定理即可得出【解答】解：因为A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=+确定的点P与A，B，C，共面，所以=1，解得=；故答案为：13若x，y满足，则z=x+y的最大值为3【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入
15、目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3故答案为：314如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测的公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75的方向上，仰角为60，则此山的高度CD=600m【考点】解三角形的实际应用【分析】在ABC中由正弦定理解出BC，在RtBCD中由正切的定义求出CD【解答】解：在ABC中，BAC=30，AB=1200，ABC=18075=105，ACB=45，由正弦定理可得BC=6
16、00又在RtBCD中，CBD=60，CD=BCtanCBD=600=600，即山高CD为600m故答案为：60015已知F是双曲线C：x2y2=1的右焦点，P是C的左支上一点，点A（0，），则APF周长的最小值为6【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的左焦点为F，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+2，考虑P在左支上运动到与A，F共线时，取得最小值，即可得到所求值【解答】解：设双曲线的左焦点为F，由双曲线C：x2y2=1可得a=1，b=1，c=，即有F（，0），F（，0），APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2，由双
17、曲线的定义可得|PF|PF|=2a=2，即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+2，当P在左支上运动到A，P，F共线时，|PA|+|PF|取得最小值|AF|=2，则有APF周长的最小值为2+2+2=6故答案为：6三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知p：3x24ax+a20（a0），q：，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围【解答】解：由3x24ax+a20（a0），得（xa）（3xa）0，得xa，由，得，即1x2，若p是q的必要
18、条件，则即2a3，即实数a的取值范围是（2，317在ABC中a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bcosA=asinB（）求角A（）若a=2，求bc的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由正弦定理化简已知可得： sinBcosA=sinAsinB，结合sinB0，解得tanA=，结合范围0A，即可得解A的值（）由余弦定理可得12=b2+c2bc，利用基本不等式b2+c22bc，即可解得bc12【解答】（本题满分为12分）解：（）bcosA=asinB，由正弦定理可得： sinBcosA=sinAsinB，0B，sinB0，cosA=sinA，tanA=，又0A，A=6分（）由余弦定理
19、可得：a2=b2+c22bccosA，a=2，A=12=b，即：12=b2+c2bc，b2+c22bc，bc12，当且仅当b=c=2时，bc取到最大值1212分18已知数列an满足：a1=1，公差d0，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）设等比数列bn的公比为q，从而可得（2+d）2=2（4+2d），从而解得；（II）由（I）知cn=（2n1），从而利用错位相减法求其前n项和即可【解答】解：（I）设等比数列bn的公比为q，则b1=a1+1=2，b2=
20、a2+1=2+d，b3=a3+3=4+2d，故（2+d）2=2（4+2d），d0，解得，d=2，q=2，故an=2n1，bn=2n；（II）由（I）知cn=（2n1），故Tn=+3（）2+5（）3+（2n1），2Tn=1+3（）+5（）2+（2n1）（）n1，Tn=1+1+（）n2（2n1）=1+（2n1），=319已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点，且|AB|=（）求该抛物线的方程（）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+，求的值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线
21、方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p+p=，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（）求得交点A，B的坐标，由向量的加减运算，可得C的坐标，代入抛物线的方程，即可得到所求值【解答】解：（）抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），则直线AB的方程为y=2（x），代入抛物线的方程，可得4x25px+p2=0，可得x1+x2=p，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p，由已知，得p+p=，解得p=2，即抛物线的方程为y2=4x；（）由p=2可得2x25x+2=0，可得x=2或，即有A（，），B（2，2），设=（x3，y3）=（，）+（2，2）=（+2，+2），即有x3=+2，y3=+2，由
22、y32=4x3，可得（21）2=4（+2），即（21）2=1+4，解得=0或220试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题：如图，已知四边形ABCD和BCEF均为直角梯形，ADBC，CEBF，且BCD=BCE=90，平面ABCD平面PCEF，BC=CD=CE=2AD=2BF=2（）证明：AF平面BDE（）求锐二面角ADEB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF平面BDE（）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出锐二面角ADEB的余弦值【解答】证
23、明：（）平面ABCD平面BCEF，平面ABCD平面BCEF=BC，CEBC，CE平面BCEF，EC平面ABCD，EC、BC、CD两两垂直，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），F（0，2，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），=（0，2，2），=（2，0，2），则，取x=1，得=（1，1，1），=（2，1，1），=0，AF平面BDE，AF平面BDE（）设平面ADE的法向量=（a，b，c），平面ADE和平面BDE成锐二面角为，=（0，1，0），=（2，0，2），则，取a=1，得=（1，0
24、，1），由（）知平面BDE的法向量=（1，1，1），cos=，锐二面角ADEB的余弦值为21已知抛物线C1：y2=4x的焦点F也是椭圆C2： +=1（ab0）的一个焦点，C1与C2的公共弦长为（）求椭圆C2的方程；（）过椭圆C2的右焦点F作斜率为k（k0）的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点为P，过点P做垂直于AB的直线交x轴于点D，试求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【分析】（）求得抛物线的焦点，由题意可得a2b2=1，由C1与C2关于x轴对称，可得C1与C2的公共点为（，），代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（）设l：y=k（x
25、1），k0，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、以及中点坐标公式，化简整理，运用不等式性质，即可得到所求范围【解答】解：（）抛物线C1：y2=4x的焦点F为（1，0），由题意可得a2b2=1由C1与C2关于x轴对称，可得C1与C2的公共点为（，），可得+=1由解得a=2，b=，即有椭圆C2的方程为+=1；（）设l：y=k（x1），k0，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，即有y1+y2=k（x1+x2）2k=2k=，由P为中点，可得P（，），又PD的斜率为，即有PD：y=（x），令y=0，可得x=，即有D（，0），可得|PD|=，又|AB|=，即有=，由k2+11，可得01，即有0，则有的取值范围为（0，）2016年7月30日