1、第2课时 奇偶性的应用互动探究关键能力探究点一 利用函数的奇偶性求解析式精讲精练 例 （1）若f(x) 是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f(x)=x(2-x) ，求函数f(x) 的解析式；（2）设f(x) 是偶函数，g(x) 是奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x2 ，求函数f(x),g(x) 的解析式答案：（1）f(x) 是定义在R 上的奇函数，f(-x)=-f(x),f(0)=0 ，当x0 时，-x0 ，则f(-x)=-x(2+x)=-f(x) ，f(x)=x(x+2)故f(x)=x(x+2),x0,0,x=0,x(2-x),x0,0,x=0,x3+x-1,x0.探究点二 利用函数的
2、单调性和奇偶性比较大小精讲精练例 （1）若对于任意实数x 总有f(-x)=f(x) ，且f(x) 在区间(-,-1 上是增函数，则( )A.f(-32)f(-1)f(2)B.f(2)f(-32)f(-1)C.f(2)f(-1)f(-32)D.f(-1)f(-32)f(2)（2）已知偶函数f(x) 在区间0,+) 上的解析式为f(x)=x+1 ，则下列大小关系正确的是( )A.f(1)f(2)B.f(1)f(-2)C.f(-1)f(-2)D.f(-1)f(2)答案：（1）B（2）D解析： （1）由题意得，f(x) 为偶函数，f(2)=f(-2) .又f(x) 在区间(-,-1 上是增函数，且-2
3、-32-1 ，f(2)=f(-2)f(-32)f(-1) ，故选B.（2）由题意得，f(x) 在0,+) 上单调递增，在(-,0 上单调递减，所以f(1)f(2) ，选项A错误；因为f(x) 为偶函数，所以f(-2)=f(2) ，所以f(1)f(2)=f(-2) ，选项B错误；f(-1)=f(1)f(2)=f(-2) ，选项D正确，选项C错误.解题感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法（1）自变量在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小；（2）自变量不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.迁移应用1.已知函数f(x) 在-5,5
4、 上是偶函数，在0,5 上是单调函数，且f(-4)f(-2) ，则下列不等式一定成立的是( )A.f(-1)f(3) B.f(2)f(3)C.f(-3)f(5) D.f(0)f(1)答案： D解析：因为函数f(x) 在-5,5 上是偶函数，且f(-4)f(-2) ，所以f(4)f(2) .又f(x) 在0,5 上是单调函数.所以f(x) 在0,5 上单调递减，从而f(0)f(1) .故选D.2.设偶函数f(x) 的定义域为R ，当x0,+) 时，f(x) 是增函数，则f(-2),f(),f(-3) 的大小关系是 .答案： f(-2)f(-3)f()解析： 因为f(x) 是偶函数，所以f(-2)
5、=f(2),f(-3)=f(3) ，又当x0 时，f(x) 是增函数，且23 ，所以f(2)f(3)f() ，即f(-2)f(-3)f() .探究点三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式精讲精练例 已知函数f(x)=x1+x2 是定义在(-1,1) 上的函数.（1）用定义法证明函数f(x) 在(-1,1) 上是增函数；（2）解不等式f(x-1)+f(x)0 .答案： （1）证明：x1,x2(-1,1) ，且x10 ，又x1x2,x1-x20 ，f(x1)-f(x2)0 ，即f(x1)f(x2) ，故函数f(x) 在(-1,1) 上是增函数.（2）f(-x)=-x1+x2=-f(x) ，f(x)
6、是(-1,1) 上的奇函数，则f(x-1)+f(x)0f(x-1)-f(x)=f(-x) ，又f(x) 是(-1,1) 上的增函数，-1x-11,-1x1,x-1-x, 解得0x12 .故不等式的解集为x|0x12 .解题感悟利用函数的奇偶性与单调性解不等式的方法（1）利用图象解不等式；（2）转化为简单不等式求解：利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2) 的形式；根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”，转化为简单不等式（组）求解.迁移应用1.设f(x)=x5+x3+b 是定义在-2,2 上的奇函数.（1）求b 的
7、值；（2）若f(x) 在0,2 上单调递增，且f(m)+f(m-1)0 ，求实数m 的取值范围.答案： （1）因为函数f(x) 是定义在-2,2 上的奇函数，所以f(0)=0 ，解得b=0 （经检验符合题意）.（2）因为函数f(x) 在-2,2 上是增函数，且f(x) 是奇函数，所以f(x) 在-2,2 上是增函数，因为f(m)+f(m-1)0 ，所以f(m-1)-f(m)=f(-m) ，所以m-1-m ，解得m12 .因为不等式f(m)+f(m-1)0 需在函数f(x) 的定义域内有意义，所以-2m2,-2m-12, 解得-1m2 .综上，实数m 的取值范围是(12,2 .评价检测素养提升1
8、.函数f(x) 是定义域为R 的奇函数，当x0 时，f(x)=-x+1 ，则当x0 时，f(x) 的解析式为( )A.f(x)=-x+1 B.f(x)=-x-1C.f(x)=x+1 D.f(x)=x-1答案：B2.（2021贵州贵阳高一期末）已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且f(x) 在0,+) 上是增函数，则下列各式一定成立的是( )A.f(2)f(-5) B.f(-5)f(0)C.f(-2)f(0) D.f(-5)f(2)答案： D3.已知函数y=f(x) 是定义在R 上的偶函数，在2,6 上单调递减，则f(-5) 与f(3) 的大小关系是 .答案： f(-5)f(3)解析： 因为f
9、(x) 是偶函数，所以f(-5)=f(5) ，因为f(x) 在2,6 上单调递减，所以f(5)f(3) ，即f(-5)f(3) .4.设偶函数f(x) 在0,+) 上是增函数，则使得f(12)f(3x-1) 成立的x 的取值范围是 .答案：(16,12)解析： 由题意得，|3x-1|12 ，-123x-112 ，解得16x12 .即x 的取值范围是(16,12) .5.设f(x) 是定义在-2,2 上的偶函数，且在区间0,2 上单调递减，若f(1-m)f(m) ，求实数m 的取值范围.答案：f(x) 是定义在-2,2 上的偶函数，f(-x)=f(x)=f(|x|) ， 不等式f(1-m)f(m) 等价于f(|1-m|)f(|m|) ，又当x0,2 时，f(x) 是减函数，1-mm,-21-m2,-2m2, 解得-1m12 .故实数m的取值范围是-1,12) .