1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。23.2离散型随机变量的方差 导思1.离散型随机变量的方差、标准差是怎样定义的？具有怎样的性质？2.两点分布与二项分布的方差应如何计算？1.方差、标准差的定义以及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn方差： D(X) 标准差为：(2)方差的性质：D(aXb)a2D(X)(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？提示：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度(2)离散型随
2、机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示：离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定(3)离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系如何？提示：区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差2两点分布与二项分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)(1)两点分布的方差是如何推导的？提示：因为X服从两点分布，所以E(X)p，D(X)(1p)2p(0p)2(1p)p(1p)(1pp)p(1p).(2
3、)二项分布的方差公式适合两点分布的方差公式吗？提示：适合因为两点分布是二项分布的特例，所以二项分布的方差公式适合两点分布的方差公式1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)离散型随机变量的期望E()反映了取值的概率的平均值()(2)离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平()(3)离散型随机变量的方差D()反映了取值的波动水平()(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()提示：(1)离散型随机变量的期望E()反映了取值的平均水平(2)离散型随机变量的方差D()反映了随机变量偏离于期望的平均程度(3)由方差的意义可知(4)离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小
4、，稳定性越好2已知随机变量，D()，则的标准差为_【解析】的标准差.答案：3已知随机变量X，Y满足，XY8，且XB(10，0.6)，则D(X)E(Y)_【解析】由题意XB(10，0.6)，知随机变量X服从二项分布，n10，p0.6，则均值E(X)np6，方差D(X)npq2.4，又因为XY8，所以YX8，所以E(Y)E(X)8682，D(X)E(Y)4.4.答案：4.4类型一离散型随机变量方差的计算(数据分析、数学运算) 1已知随机变量X的分布列为X135P0.40.10.5则X的标准差等于()A3.56 B C3.2 D【解析】1.选D.数学期望E(X)10.430.150.53.2，由方差
5、的定义，D(X)(13.2)20.4(33.2)20.1(53.2)20.51.9360.0041.623.56.所以标准差.2已知随机变量的分布列如下表：101P则的均值为_，方差为_【解析】2均值E()x1p1x2p2x3p3(1)01；方差D()(x1E()2p1(x2E()2p2(x3E()2p3.答案：3已知随机变量X的分布列是X01234P0.20.20.30.20.1试求D(X)和D(2X1).【解析】3E(X)00.210.220.330.240.11.8.所以D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.
6、利用方差的性质D(aXb)a2D(X).因为D(X)1.56，所以D(2X1)4D(X)41.566.24 求离散型随机变量的方差的步骤(1)理解的意义，明确其可能取值(2)判定是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤(3)求取每个值的概率(4)写出的分布列，并利用分布列性质检验(5)根据方差定义求D().【补偿训练】 已知的分布列为010205060P(1)求方差及标准差(2)设Y2E()，求D(Y).【解析】(1)因为E()01020506016，所以D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(601
7、6)2384，所以8.(2)因为Y2E()，所以D(Y)D(2E()22D()43841 536.类型二两点分布与二项分布的方差(数据分析、数学运算)【典例】一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差(2)若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间的期望与方差【思路导引】先判断服从什么分布，再利用相应的公式求解【解析】(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B，所以E()62，D()6.(2)由已知30，所以E()30E()60，D()900D()1 200. 求离散型随机变量的均
8、值与方差的关注点(1)写出离散型随机变量的分布列(2)正确应用均值与方差的公式进行计算(3)对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算1(2021遵义高二检测)若XB(n，p)，且E(X)6，D(X)3，则P(X1)的值为()A322 B24 C3210 D28【解析】选C.因为XB(n，p)，所以E(X)np，D(X)np(1p).所以解得所以P(X1)C3210.2(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差(3)老师要从10名同学中随机抽3
9、名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差【解析】(1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X01P0.30.7所以D(X)p(1p)0.70.30.21.(2)设正面向上的次数为Y，则YB，D(Y)np(1p)51.25.(3)设抽到男同学的人数为.服从超几何分布，分布列为0123P即0123P所以E()01230.310.51.8，D()(01.8)2(11.8)2(21.8)2(31.8)20.56.类型三方差的实际应用(数学建模、数据分析)【典例】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中1
10、0，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术【思路导引】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出，的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值【解析】(1)由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.
11、2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，D()D()，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高(2)在均值相等
12、的情况下计算方差方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定(3)下结论依据方差的几何意义作出结论1有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2其中和分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好【解析】E()1100.11200.21250.41300.11350.2125，E()1000.11
13、150.21250.41300.11450.2125，D()0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250，D()0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165，由于E()E()，D()D()，故甲厂的材料稳定性较好2有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如表所示：甲：分数X8090100概率P0.20.60.2乙：分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生
14、的成绩水平【解析】因为E(X)800.2900.61000.290，D(X)(8090)20.2(9090)20.6(10090)20.240，E(Y)800.4900.21000.490，D(Y)(8090)20.4(9090)20.2(10090)20.480，即E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，所以甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定 1某人从家乘车到单位，途中有3个路口假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为()A0.48 B1.2 C0.72 D0.6【解析】选C.因为途中遇红灯的次数X服从二项分布，即XB
15、(3，0.4)，所以D(X)30.40.60.72.2已知X的分布列为X101P0.50.30.2则D(X)等于()A0.7 B0.61 C0.3 D0【解析】选B.E(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.3(2021天水高二检测)由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：1(甲得分)012P(1xi)0.20.50.32(乙得分)012P(2xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好()A甲 B乙C甲、乙均可 D无法确定【解析】选A.E(1)E(2)1.1，D(1)1.120.20.120.50.920.30.49，D(2)1.120.30.120.30.920.40.69，所以D(1)D(2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好4(教材练习改编)设随机变量B，则D()_【解析】因为随机变量B，所以D()6.答案：5若随机变量X的分布列如表所示，X01P0.40.6则E(X)_，D(X)_【解析】E(X)00.410.60.6，D(X)0.6(10.6)0.60.40.24.答案：0.60.24关闭Word文档返回原板块