1、第2课时 异 面 直 线课程标准1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系2.掌握两异面直线所成的角的求法基础认知自主学习【概念认知】1异面直线判定定理 文字语言：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 符号语言：若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线 图形语言：2异面直线所成的角或夹角 定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把a和b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角 若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作ab.【自我小测】1已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c
2、与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线【解析】选C.假设c与b平行，由于ca，根据基本事实4可知ab，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定垂直C一定是异面直线D一定相交【解析】选B.因为ab，bc，所以ac.3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是()A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直【解析】选D.因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则ACA1C1，ACBD，所以直线BD与A1C1
3、垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直4在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为()A 24 B 144 C 2814 D 22【解析】选A.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B1DB，所以DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角，因为ABBC1，AA1 3，所以DB 2，BC12，DC12，由余弦定理得cos DBC1DB2BC21 DC212DBBC1 24 2 24.所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 24.5若AOB120，直线aOA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_.【解析】因为aOA
4、，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60.答案：606空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角为_【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在EFH中EFH90，HE2HF，从而FEH30.答案：307如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1EF.【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG，因为E是BD1的中点，所以EGBC，EG12 BC.因为F是AD的中点，且ADBC，ADBC，所以DFBC，DF12 BC，所以EGDF，EGDF，所以四边形
5、EFDG是平行四边形，所以EFDG，所以DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又因为A1AAB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DGCD1，所以D1GD90，所以CD1EF.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线()A平行 B异面C相交D以上皆有可能【解析】选D.平面，相交，如图所示：则a，b，ab；又a，c，a、c异面；c，d，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交2直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是()A平行B相交C异面D相交
6、于一点或异面【解析】选D.已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，当点B与点C重合时直线c与d相交，当点B与点D不重合时直线c与d异面3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有()A2条 B4条 C6条 D8条【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有()A2条 B1条 C3条 D4条【解析】选
7、B.与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90.5空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A梯形B矩形C平行四边形D正方形【解析】选D.连接AC，BD.因为E，F，G，H分别为各边中点，如图所以FGEH12 BD，HGEF12 AC，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为BDAC且BDAC，所以FGHG且FGHG，所以四边形EFGH为正方形6如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为()
8、A.1 B 2 C 3 D2【解析】选B.取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD.因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D 2 AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为 2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.二、多选题7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是()A直线EF，OD1是异面直线，且EFOD1B直线OD1，B1B是异面
9、直线且OD1B1BC直线EF，OD1是相交直线，且EFOD1D直线OD1，B1B是相交直线且OD1B1B【解析】选ABD.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，如图，四边形D1EOF是矩形，直线EF，OD1是相交直线，A错误，直线OD1，B1B是相交直线，B错误；EFOD1，OD1B1B，D错误8在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为()A15 B30 C45 D75【解析】选 AD.如图所示，取 AC 的中点 G，连接 EG，FG，则 EGAB 且
10、EG12 AB，GFCD 且 GF12 CD.由 ABCD 知 EGFG，从而可知GEF 为 EF 与 AB 所成的角，EGF 或其补角为AB 与 CD 所成的角因为 AB 与 CD 所成角为 30，所以EGF30或 150，由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.三、填空题9点E，F分别是三棱锥P-ABC的棱AP，BC的中点，AB6，PC8，EF5，则异面直线AB与PC所成的角为_【解析】如图，取PB的中点G，连接EG，FG，则EG12 AB，GF12 PC，则EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在
11、EFG中，EG12 AB3，FG12 PC4，EF5，所以EGF90.答案：9010一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论正确的为_(填序号)【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确答案：四、解答题11如图所示，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.【解析】(1)因为CGBF，所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在BEF中，EBF45，所以
12、BE与CG所成的角为45.(2)如图，连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，又HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形所以HFBD，所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角连接HA，AF，易得FHHAAF，所以AFH为等边三角形，又知O为AH的中点所以HFO30，即FO与BD所成的角为30.12如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：ACB1D.【证明】如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OEDB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角连接AE，CE，易证AECE，又O是AC的中点，所以ACOE，所以ACB1D.【综合突破练】一、选择
13、题1(2021杭州高一检测)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点，则MN与AB1所成角的余弦值为()A 105B 1010C 105D 1010【解析】选D.取A1B1的中点P，连接PN、PB，设PBAB1Q，设AB2，因为P、N分别为A1B1、A1C1的中点，则PNB1C1且PN12 B1C1，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BCB1C1且BCB1C1，因为M为BC的中点，所以，BMPN且BMPN，则四边形BMNP为平行四边形，所以MNPB，所以异面直线MN与AB1所成的角为AQB或其补角，AB1AB2BB21 2 2，PBPB21 BB21
14、5，因为A1B1AB，则PQBQ B1QAQ PB1AB 12，所以AQ23 AB14 23，BQ23 PB2 53，由余弦定理可得cos AQBAQ2BQ2AB22AQBQ 1010.因此MN与AB1所成角的余弦值为 1010.2如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.105 B 155 C45D23【解析】选B.取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE，OH，因为E是CC1的中点，所以GC1HE，所以OEH为异面直线OE和FD1所成的角在OE
15、H中，OE 3，HE 52，OH 52，由余弦定理可得cos OEHOE2EH2OH22OEEH 155.3(多选)如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P-DEF，则在此正四面体中，下列说法正确的是()APG与DH所成的角的正弦值为23BDF与PE成角2CGH与PD所成的角为4DPG与EF所成角的余弦值为 36【解析】选 BCD.ABC 的边长为 4，折成正四面体P-DEF 后，如下图所示，因为 D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分别为 DE，AF 的中点，所以 DHFP，DEGP，连接FG，取
16、GF中点M，则HMGP，所以异面直线PG与DH所成角为DHM(或补角)，因为GP 3，所以HM 32，连接MD，得DM 72，DH 3，cos DHM（3）2（32）2（72）22 3 3223，所以PG与DH所成的角的正弦值为：1（23）2 53，故A错误；正四面体P-DEF中，取DF中点N，连接PN，EN，则PNDF，ENDF，PNENN，所以DF平面PEN，所以DFPE，所以DF与PE成角2，故B正确；连结GN，HN，则NHDP，所以异面直线GH与PD所成的角为GHN(或补角)，GHGP2（PF2）2 31 2，GNHN1，cos GHN2112 21 22，所以GHN4，所以GH与PD
17、所成的角为4，故C正确；异面直线PG与EF所成角为PGN(或补角)，由题知PN 3 故cos PGNPG2GN2PN22PGGN3132 31 36，故D正确二、填空题4如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，GEF120，则BD和AC所成角的度数为_【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线，已知条件中的角会给解题提供方向【解析】依题意知，EGBD，EFAC，所以GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又GEF120，所以异面直线BD与AC所成的角为60.答案：605如图，长方体ABCD-A1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线)，其中ABCD是正
18、方形且边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为_，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是_【解析】因为AA1DD1，所以DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，在RtD1DB中，sin DD1BDBBD1 2 22 6 33.因为ADBC，所以D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，连接D1C，在D1BC中，因为长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，所以D1B2 6，BC2，D1C2 5，D1B2BC2D1C2，所以D1CB90，所以sin D1BCD1CD1B 2 52 6 306，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是 306.
19、答案：33 3066如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_【解析】取A1B1中点M，连接MG，MH，则MGEF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角易知MGH为正三角形，MGH60，所以EF与GH所成的角等于60.答案：607如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN_【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，所以MPN即为异面直线AC与BD所成的角，所以MPN90，PN12 AC4，PM12
20、BD3，所以MN5.答案：5三、解答题8已知A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角，由FGAC，EGBD，且ACBD得EGFG.在RtEGF中，由EGFG12 AC，求得FEG45，即异面直线EF与B
21、D所成的角为45.9如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点求异面直线A1M与DN所成的角的大小【解析】如图，过点M作MEDN交CC1于点E，连接A1E，则A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a，则A1M32 a，ME 54 a，A1E 414a，所以A1M2ME2A1E2，所以A1ME90，即异面直线A1M与DN所成的角为90.(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分，多选题全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0 分)1如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
22、点 E 是棱 A1D1 的中点，11D F 3FC，若过点 A，E，F 的平面分别交棱 CC1，BC 于点 G，H，则线段 GH 的长度为()A 343 B4 53 C 973 D103素养培优练【解析】选 B.由11D F 3FC知，D1F3，FC11，取 AD 的中点 K，在线段 DC 上取点 L，使 LD3，则 LC1，由 KDED1，所以四边形 KDD1E 为平行四边形，KEDD1，由 LDFD1，所以四边形 DD1FL 为平行四边形，FLDD1，所以 FLKE，所以四边形 FLKE 为平行四边形，EFKL，在 DC 的延长线上取点 P，使 CP2，连结 AP，则L是线段DP的中点，所
23、以KL12 AP，所以EFAP，所以过点A，E，F的平面与棱BC的交点H就是线段AP与线段BC的交点，设直线EF与B1C1交于点M，连结MH，则MH和CC1的交点就是过点A，E，F的平面与棱CC1的交点G，由D1EF和C1MF相似，易求MC123，由PCH和PDA相似，易求HC43，由C1GM和CGH相似，易求GC83，所以GHHC2GC2 432832 4 53.2如图，已知三棱柱ABCABC的底面是正三角形，侧棱AA底面ABC，AB9，AA3，点P在四边形ABBA内，且P到AA，AB的距离都等于1，若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与AD平行的直线交三棱柱ABCABC于点P，Q两点，则
24、点Q所在平面是()AACCA BBCCBCABC DABBA【解析】选C.如下图所示，连接AP并延长交直线AB于点M，由于点P在四边形AABB内，且点P到AA，AB的距离都等于1，可知AAM45，则AAM为等腰直角三角形，且AMAA3AB，所以，点M在线段AB上，连接DM，由于点P在线段AM上，过点P作PQAD交DM于点Q，则点Q即为所求，且点Q在线段DM上，因此，点Q在平面ABC内3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70，则这样的直线l()A不存在B2条C4条D无数条【解析】选C.因为B1D1BD，过点C做直线l可以转化为过B做
25、直线l与直线BA1和BD所成的角均为70，由于BA1与BD所成的角等于60，所以当直线l是A1BD的角平分线时与A1B，BD都成30，然后直线l绕着点B转动，在与平面A1BD垂直的过程中有一条直线与两条直线都成70，同理在A1BD的对顶角中也有一条直线l与两条直线都成70，因为A1BD的补角是120，角平分线与两条直线都成60，当直线l绕着点B从A1BD一侧的补角角平分线开始转动，在与平面A1BD垂直的过程中有一条直线与两条直线都成70，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条4(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为()A
26、直线AM与C1C是相交直线B直线AM与BN是平行直线C直线BN与MB1是异面直线D直线MN与AC所成的角为60【解析】选 CD.结合图形，显然直线 AM 与 C1C 是异面直线，直线 AM 与 BN 是异面直线，直线 BN 与 MB1 是异面直线，直线 MN 与 AC 所成的角即直线 D1C 与 AC所成的角，在等边AD1C 中ACD160，所以直线 MN 与 AC 所成的角为 60.二、填空题(每小题5分，共10分)5如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，P是线段AC上一点，且直线PA1交平面AB1D1于点M.给出下列结论：A，M，O三点共线；A，M，O，A1不共面
27、；A，M，C，O共面；B，B1，O，M共面其中正确结论的序号为_【解析】连接A1C1，因为O是B1D1的中点，所以OA1C1.平面AB1D1与平面AA1C1C有公共点A与O，则平面AA1C1C平面AB1D1AO.对于，MPA1，PA1 平面AA1C1C，则M平面AA1C1C，又M平面AB1D1，则MAO，即A，M，O三点共线，故正确；对于，A，O，A1在平面AA1C1C内，由知MAO，所以M平面AA1C1C，即A，M，O，A1共面，故错误；对于，A，O，C在平面AA1C1C内，由知MAO，所以M平面AA1C1C，则A，M，C，O共面，故正确；对于，连接BD，则B，B1，O都在平面BB1D1D上
28、，若M平面BB1D1D，则直线OM 平面BB1D1D，所以A平面BB1D1D，显然A平面BB1D1D的，故错误所以正确命题的序号是.答案：6如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有_；是相交直线的图形有_(填序号)【解析】中GHMN；中G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此GH，MN是异面直线；中连接GM，GMHN且GMHN，所以直线GH与MN必相交；中G，M，N三点共面，但H平面GMN，因此GH，MN是异面直线答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交
29、于点N，RP与DC的延长线交于点K.(1)求证：直线MN 平面PQR；(2)求证：点K在直线MN上【证明】(1)因为PQ 平面PQR，M直线PQ，所以M平面PQR，因为RQ 平面PQR，N直线RQ，所以N平面PQR，所以直线MN 平面PQR.(2)因为M直线CB，CB 平面BCD，所以M平面BCD.由(1)知，M平面PQR，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，所以由基本事实3知，M，N，K三点共线所以点K在直线MN上8如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且ABBC2 3，ABC120，若异面直线
30、A1B和AD1所成的角为90，试求AA1的长【解析】连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角因为异面直线A1B和AD1所成的角为90，所以AD1C90.因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中ABBC2 3，所以ACD1是等腰直角三角形，所以AD1 22 AC.因为底面四边形ABCD是菱形且ABBC2 3，ABC120，所以AC2 3 sin 6026，AD1 22 AC3 2，所以AA1AD21 A1D21 ()3 2 2()2 3 2 6.