1、课堂导学三点剖析一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率【例1】 设测量一条道路长度的误差x(单位:m)服从正态分布N(-5,202),求:(1)误差的绝对值不超过30 m的概率;(2)测得的长度小于道路真实长度的概率;(3)测得的长度比道路真实长度大35 m的概率.(查表,可得(1.75)=0.959 94,(1.25)=0.894 4,(2)=0.977 2,(0.25)=0.598 7)解析：(1)P(|x|30)=P(-30x30)=-=(1.75)-(-1.25)=(1.75)+(1.25)-1=0.854 34.(2)由误差的定义:测量值=真实值+误差,可见,题意要求的概率为
2、P(x35)=1-P(x35)=1-=1-(2)=0.022 8.温馨提示求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布.二、利用正态曲线的性质解题【例2】 设任一正态总体N(,2)中取值小于x的概率为F(x),标准正态总体N(0,1)中,取值小于x0 的概率为(x0).(1)证明F(x)可化为(x0)计算;(2)利用正态曲线的性质说明:当x取何值时,正态总体N(,2)相应的函数f(x)=(xR)有最大值,其最大值是多少？(1)证明：由正态总体N(,)的概率密度函数可知F(x)=即.(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知,正态总体N(,2)的概率密度函数f(x)在x=时,取到最大值.温馨
3、提示 注意正态曲线中,的几何意义.三、小概率事件【例3】 某厂生产的圆柱形零件的外直径服从正态分布N(4,0.25),如果一批产品的合格率达到99.7%以上就认为这批产品是合格的.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽取一件,测得它的外直径为5.7 cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析:要说明这批零件是否合格,就是要说明从这批零件中随机地取出一件,其尺寸是否落在规定的范围内.由正态分布的性质知,总体中个体取值的概率为99.7%所对应的区间为(-3,+3),故只需判断5.7是否属于该区间即可.解：N(4,0.25),由正态分布的性质知,的取值落在区间(-3,+3)之内的概率为99
4、.7%.由于=4,=0.5,-3=4-30.5=2.5,+3=4+30.5=5.5,即合格品的产品尺寸的取值范围是(2.5,5.5).5.7(2.5,5.5),这说明在一次试验中小概率事件发生了,可以认为这批零件是不合格的.温馨提示 发生概率一般不超过5%的事件,称为小概率事件,它在一次试验中几乎不可能发生.各个击破类题演练 1某学校学生的数学竞赛成绩服从正态分布N(42,36),如某个学生得48分,求成绩排在这名学生以后的学生占学生总数的百分比.解析:由N(42,36),则=N(0,1).因此,P(48)=F(48)=(1)0.84.因而有84%的学生成绩排在得48分的学生之后.变式提升 1
5、某县农民平均收入服从=500 元,=20 元的正态分布.求:(1)此县农民的年均收入在500 元520 元之间的人数的百分比.(2)此县农民年均收入超过540 元的人数的百分比.解析:(1)P(500X520)= P(480X520)=P(-X540)=P(X540)+P(X460)=1-P(460X540)= (1-0.954 4)=0.045 6=0.022 8.类题演练 2下图为某地成年男性体重的正态曲线图,请写出其正态分布密度函数,并求P(|X-72|20).思路分析:由正态曲线特征入手.解:,(x)=,x(-,+),P(|X-72|20)=P(|X-|2)=P(-2X+2)=0.95
6、4 4.类题演练 3已知某批建筑材料的强度服从N(200,182)的正态分布,现从中任取一件时,求:(1)取得这件材料的强度不低于180的概率；(2)如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150,问这批材料是否符合这个要求？ 解析:(1)P(180)=1-P(180)=1-=(1.11)=0.866 5,取得这件材料的强度不低于180的概率为86.65%.(2)P(150)=1-P(150)=1-=1-(-2.78)=(2.78)=0.997 3,即从这批材料中任取一件,以概率99.73%(大于99%)保证强度不低于150,故这批材料符合提出的要求.变式提升 3公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高服从=168 cm,=7 cm的正态分布,即N(168,72),那么汽车车门的高度应如何确定？解析:设车门的高度为hcm,由题意,P(h)0.01或P(h)0.99.由于N(168,72), P(0.99,即有=2.33.于是h=184.31 cm,故汽车车门的高度大于184.31 cm时,男子与车门碰头的机会在0.01以下.