1、模板3 数列的通项及求和问题【例 3】(满分 13 分)(2015天津卷)已知数列an满足 an2qan(q 为实数，且 q1)，nN*，a11，a22，且 a2a3，a3a4，a4a5 成等差数列.(1)求 q 的值和an的通项公式；(2)设 bnlog2a2na2n1，nN*，求数列bn的前 n 项和.规范解答(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即 a4a2a5a3，所以 a2(q1)a3(q1)，又因为 q1，故 a3a22，由 a3a1q，得 q2.3 分当 n2k1(kN*)时，ana2k12k1122n；当 n2k(kN*)时，ana2k2k22n.所
2、以，an的通项公式为1222,2,nnnnan 为奇数,为偶数,6 分(2)由(1)得 bnlog2a2na2n1 n2n1.7 分设bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn1 1202 1213 122(n1)12n2n 12n1，8 分12Sn1 1212 1223 123(n1)12n1n 12n.9 分上述两式相减得：12Sn112 122 12n1 n2n1 12n112 n2n2 22n n2n，10 分整理得，Sn4n22n1，nN*.12 分所以，数列bn的前 n 项和为 4n22n1，nN*.13 分解题模板 第一步 根据条件确定数列相邻两项之间的关系；第二步 确定公比q的值；第
3、三步 根据递推公式求数列的通项公式；第四步 求新数列的通项公式；第五步 根据数列表达式的结构特征确定求和方法；第六步 规范写出求和步骤.【训练 3】设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，满足4Sna2n14n1，nN*，且 a2，a5，a14 构成等比数列.(1)证明：a2 4a15；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 1a1a2 1a2a31anan112.(1)证明 因为 an0，令 n1，有 4S1a2241，即 4a1a225，所以 a2 4a15.(2)解 4Sna2n14n1，当 n2 时，4Sn1a2n4(n1)1，两式相减得 4ana2n1a2n4，整理得 a2n1(an2)2，即 an1an2.所以an从第 2 项起，是公差为 2 的等差数列.所以 a5a232a26，a14a2122a224，又 a2，a5，a14 构成等比数列，有 a25a2a14，则(a26)2a2(a224)，解得 a23.由(1)知 a11，又 an1an2(n2)，所以数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，即 an1(n1)22n1.(3)证明 由(2)得 1a1a2 1a2a31anan1 113 1351（2n1）（2n1）12113 1315 12n112n112112n1 12.
