1、2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升1.已知方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+)解析依题意有k-410-k0,解得7k0,n0),则16m=1,4n=1,解得m=116,n=14,故选D.答案D3.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=()A.3B.5C.3D.5解析因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案D4.化简方程x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=10为不含根式的形式是()A.x225+
2、y216=1B.x225+y29=1C.x216+y225=1D.x29+y225=1解析由题意可知方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,且60,m-10,7-mm-1,解得1mb0),由椭圆过点P(3,0),知9a2+0b2=1.又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆过点P(3,0),知0a2+9b2=1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+x29=1.故椭圆的标准方程为y281+x29=1或x29+
3、y2=1.10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1,142.解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆的定义知2a=(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2=12,所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2=42.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由题意得18a2+16b2=1,a2=b2+4,解得a2=36,b2=32.所以
4、椭圆的标准方程为y236+x232=1.(2)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由已知条件得4a2+2b2=1,1a2+144b2=1,解得1a2=18,1b2=14.所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).将两点(2,-2),-1,142代入,得4A+2B=1,A+144B=1,解得A=18,B=14,所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.11.(选做题)如图所示,ABC的底边BC=1
5、2,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=2012.B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且2012=|BC|,G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为x2100+y264=1(x10).设G(x,y),A(x,y),则有x2100+y264=1.由重心坐标公式知x=x3,y=y3,故A点轨迹方程为(x3)2100+(y3)264=1,即x2900+y2576=1(x30).
