1、5.3诱导公式(二)学习目标 1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点一公式五1角与角的终边关于直线yx对称，如图所示2公式：sincos ，cossin .思考设是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角的终边关于直线yx对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？答案P2(y，x)知识点二公式六1公式：sincos ，cossin .2公式五与公式六中角的联系.思考如何由公式四及公式五推导公式六？答案sinsinsincos ，coscoscossin .预习小测自我检验1若cos A，那
2、么sin .答案2已知sin ，则cos .答案解析cossin .3已知sin ，为第二象限角，则cos .答案4若且sin ，则cos .答案解析因为，所以，所以cos cossin .一、化简求值例1(1)已知cos 31m，则sin 239tan 149的值是()A. B.C D答案B解析sin 239tan 149sin(18059)tan(18031)sin 59(tan 31)sin(9031)(tan 31)cos 31(tan 31)sin 31.(2)已知sin，则cos的值为 答案解析coscossin.延伸探究1将本例(2)的条件中的“”改为“”，求cos的值解cosc
3、ossin.2将本例(2)增加条件“是第三象限角”，求sin的值解因为是第三象限角，所以是第二象限角，又sin，所以是第二象限角，所以cos，所以sinsinsincos.反思感悟解决化简求值问题的策略：(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化提醒：常见的互余关系有：与，与等；常见的互补关系有：与，与等跟踪训练1(1)已知sin，则cos的值等于()A. B C. D答案D解析coscossin.(2)已知sin，那么cos 等于()A B C. D.答案C解析sinsinsincos
4、 .二、证明恒等式例2求证：.证明左边，右边，所以原等式成立反思感悟三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练2求证：.证明左边右边，原等式成立三、诱导公式的综合应用例3已知cos ，且为第三象限角(1)求sin 的值；(2)求f()的值解(1)因为为第三象限角，所以sin .(2)f()tan sin sin 2.延伸探究1本例条件不变，求f()的值解f()sin .2本例条件中“cos ”改为
5、“的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值解由题意知m221，解得m2，因为为第二象限角，故m0，所以m，所以sin ，cos .原式.反思感悟用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少(2)对于和这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名跟踪训练3已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值解因为角的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，所以a21(a0)，所以a，所以sin ，cos ，所以原式2.1sin 95cos 1
6、75的值为()Asin 5 Bcos 5C0 D2sin 5答案C解析原式cos 5cos 50.2已知cos，且|，则tan 等于()A B. C D.答案C3若sin0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析由于sincos 0，所以角的终边落在第二象限，故选B.4若cos ，且是第四象限角，则cos .答案解析由题意得sin ，所以cossin .5化简：sin()cossincos() .答案1解析原式sin sin cos cos 1.1知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明2方法归纳：奇变偶不变，符号看象限3常见误区：函数符号的变化，角与角之间的
7、联系与构造1已知sin 25.3a，则cos 64.7等于()Aa Ba Ca2 D.答案A解析cos 64.7cos(9025.3)sin 25.3a.2若sin(3)，则cos等于()A B. C. D答案A解析sin(3)sin ，sin .coscoscossin .3若sin(180)cos(90)a，则cos(270)2sin(360)的值是()A B C. D.答案B解析由sin(180)cos(90)a，得sin sin a，即sin .cos(270)2sin(360)sin 2sin 3sin a.4如果角的终边经过点，那么sincos()tan(2)等于()A B. C.
8、 D答案B解析易知sin ，cos ，tan .原式cos cos tan .5已知sin，则cos的值是()A B. C. D答案B解析因为coscossin，故选B.6已知sin ，则cos .答案解析coscoscossin .7sin21sin22sin245sin288sin289 .答案解析原式(sin21sin289)(sin22sin288)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)211.8已知cos2sin，则 .答案解析因为cos2sin，所以sin 2cos .原式.9已知sin()cos()，求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)sin3co
9、s3.解(1)由sin()cos()，得sin cos ，两边平方整理得2sin cos ，又0，cos 0，sin cos .(2)sin3cos3cos3sin3(cos sin )(cos2cos sin sin2).10已知sin 是方程5x27x60的根，且为第三象限角，求：的值解5x27x60的根为x2或x，sin .又为第三象限角，cos .tan .原式tan .11已知为锐角，2tan()3cos5，tan()6sin()1，则sin 等于()A. B.C. D.考点综合运用诱导公式化简与求值题点综合运用诱导公式求值答案C解析由题意，得解得tan 3，又为锐角，sin2cos
10、21，可得sin .12化简：等于()Asin Bsin Ccos Dcos 答案A解析原式sin .13若sin，则cos .答案解析coscossin.14已知sin，则sin ， cos .答案解析sinsinsin；coscossin.15若角A，B，C是ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()Acos(AB)cos CBsin(AB)sin CCcos sin BDsin cos答案D解析因为ABC，所以ABC，所以cos(AB)cos(C)cos C，sin(AB)sin(C)sin C，cos cossin ，sin sincos .16是否存在角，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解假设存在角，满足条件，则由22得sin23cos22.cos2，cos ，.当时，cos ，0，；当时，cos ，0，此时式不成立，故舍去存在，满足条件