1、用分离常数法解2014年高考题1 用分离常数法讨论方程根的个数题1 (2014年高考课标全国卷I理科第11题即文科第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.答案 C解 因为函数的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”，也等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”用导数容易作出曲线如图1所示：图1由图1可得答案C 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.答案 A解 设，题意即曲线与直线有两个公共点因为
2、，由复合函数单调性的判别法则“同增异减”可得函数在上是减函数，在上均是增函数，从而可作出曲线的草图如图2所示，由此可得答案图2题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 答案 解 作出函数的图象如图3所示：图3有；当且仅当时，；关于方程即在上有10个零点，即曲线与直线在上有10个交点因为函数的周期为3，所以直线与曲线有4个交点，得所求实数的取值范围是题4 (2014年高考天津卷理科第14题)已知函数f(x)|x23x|，xR若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_答案 (
3、0,1)(9,)解 因为不是原方程的根，所以设后可得本题等价于：若关于的方程恰有4个互异的实根，则实数a的取值范围为_ (1)作出对勾函数的图象如图4所示：图4 (2)再由平移可作出函数的图象如图5所示：图5 (3)作出函数的图象如图6所示：图6因为关于的方程的互异实根个数即两条曲线公共点的个数，所以由图6可得结论：当时，原方程互异实根的个数是0；当或时，原方程互异实根的个数是2；当或9时，原方程互异实根的个数是3；当或时，原方程互异实根的个数是4所以本题的答案是(0,1)(9,)题5 (2014年高考天津卷文科第14题)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围
4、为_答案 (1,2)简解 因为不是函数yf(x)a|x|的零点，所以可得本题等价于：若两条曲线恰有4个公共点，则实数a的取值范围为_同题4的解法，可作出曲线如图7所示：图7由图7可得结论：当时，原方程互异实根的个数是0；当或时，原方程互异实根的个数是3；当时，原方程互异实根的个数是6；当时，原方程互异实根的个数是5；当时，原方程互异实根的个数是4所以本题的答案是(1,2)题6 (2014年高考天津卷理科第20(1)题)设f(x)xaex(aR)，xR已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x10，讨论曲线公共点的个数 2.(2013年高考新课标卷I理科第21题)已知函数若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线(1)求的值；(2)若时，求的取值范围3.(2013年高考福建卷文科第22题)已知函数R，e为自然对数的底数)(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；(2)求函数的极值；(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值答案：1.当时，有0个公共点；当 时，有1个公共点；当有2个公共点2.(1)(2)题设即恒成立设，可得题设即恒成立得，所以：当时，恒成立，是增函数，所以恒成立即当时，可得，所以恒成立即所以所求的取值范围是3.(1)e(2)略(3)题意即方程也即无解，满足当时，即方程无解用导数可求得函数的值域是，所以，即总之，的取值范围是，所以的最大值是1
