1、湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2019-2020学年高二数学上学期11月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D.2.复数满足，则复数的实部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数模的运算、除法的运算化简，由此求得复数的实部.【详解】依题意，所以，故的实部为.故选：D.【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3.已知向量，.若，则（ ）A.
2、B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求得的坐标，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，解得.故选：B.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.4.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%0.48%3.82%0.86%则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要
3、由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确故选：ACD【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与
4、分析能力，是基础题5.已知圆，则两圆的位置关系为( )A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解【详解】由题意，可知圆，即为，表示以为圆心，半径为1的圆，圆，即为，表示以为圆心，半径为3的圆，由于两圆的圆心距等于等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式求得，再利用诱导公式求得结果.【详解】 本
5、题正确选项：【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.7.若偶函数在区间上单调递增， 且， 则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，画出大致图像，根据图像求得不等式的解集.【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增， 且，所以，且函数在上单调递减.由此画出函数图像如下图所示，由图可知，能使，即，也即自变量和对应函数值异号的的解集是.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在
6、（ ） A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. 内部【答案】A【解析】由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A9.过点的直线与圆相交于，两点，若，则该直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，设直线的方程为；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】由题意设直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，又弦长，所以圆心到直线的距离为，所以有，解得.故选A【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属于基础题型.10.已知为正实数，则的最小值为（ ）A. B. C
7、. D. 3【答案】D【解析】【详解】试题分析：,当且仅当时取等号，故选D.考点：基本不等式.【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.11.若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是( )A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离公式，转化为点到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围【详解】依题
8、意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）故选：D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.在中,点在边上,点关于直线的对称点分别为,则的面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解三角形，建立坐标系，设AD斜率为k，用k表示出B纵坐标，代入面积公式得出面积关于k的函数，根据k的范围和函数单调性求出面积最大值【详解】由余弦定理可得AC2AB2+BC22ABBCcosB12+92233，AC，且
9、AC2+BC2AB2，ACBC，以C为原点，以CB，CA为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：设直线AD的方程为ykx，当D与线段AB的端点重合时，B，B，C在同一条直线上，不符合题意，则k，设B（m，n），显然n0，则，解得n，CCBB，SBBCSBBC，令f（k）（k），则f（k），令f（k）0可得k或k（舍），当k时，f（k）0，当k时，f（k）0，当k时，f（k）取得最大值f（）故选：D【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方法，属于较难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则_.【答案】【解析】由函数的解析式有：
10、 ，则： .点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_.【答案】【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），
11、（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.过圆上一点作圆的切线， 则该切线的方程为_ 【答案】【解析】【分析】求得圆心的坐标，进而求得直线的斜率，从而求得过点的圆的切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意圆心为，故，所以过点的圆的切线的斜率为，由点斜式得切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本小题主要考查过圆上一点的切线方程的求法，属于基础题.16.体积为三棱锥的顶点都在球的球面上，平面， 则球的表面积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设出三角形的三边长，利用三棱锥的体积列方程
12、.计算出三角形的外接圆半径，由此计算出球的半径的表达式，并求得球的半径的最小值，进而求得其表面积的最小值.【详解】设三条边长为，则.由于平面，所以三棱锥的体积为，所以.设的外心为，球的球心为.由正弦定理得外接圆的半径为.由图可知，球的半径，将代入上式得，当且仅当时等号成立.故球表面积的最小值为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球表面积的最小值的计算，考查三棱锥的体积公式，考查基本不等式求最值，考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在中，a， b， c分别为角A，B，C 所对边的长，.
13、（1）求角C的值：（2）设函数，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（2）利用两角和的正弦公式、辅助角公式化简表达式，根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得：，.（2），.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.18.已知圆.（1）若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线的方程；（2）若点是圆C上的动点，求的取值范围.【答案】（1）或或；（2）【解析】【分析】（1）求出圆心和半径.当切线过
14、原点时，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值.当切线不过原点时，切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值.（2）将问题转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）由方程知圆心为，半径为， 当切线过原点时，设切线方程为，则，即切线方程为. 当切线不过原点时，设切线方程，则，或，即切线方程为或.切线方程为或或.（2）由题意可知，直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离.即，即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19.如图，是由两个全等的
15、菱形和组成的空间图形，BAFECD60.（1）求证：；（2）如果二面角BEFD的平面角为60，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，.利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得，由此证得平面，进而求得，根据空间角的概念，证得.（2）根据（1）得到就是二面角的平面角，即，由此求得的长.利用等体积法计算出到平面的距离，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连接、，.在菱形中，是正三角形，同理在菱形，可证，平面，又，.（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，又，所以是正三角形，故有，如图，取的中
16、点，连接，则，又由（1）得，所以，平面，且，又，在直角中，所以，设到平面的距离为，则，所以，故直线与平面所成角正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在
17、区间内的概率【答案】（1）平均分68，众数65；（2）【解析】分析】（1）先求得成绩在区间内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.（2）先求得、的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为.所以平均分，众数的估计值是65.（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人，记这4名学生分别为，成绩在区间内的学生有人，记这2名学生分别为，则从这6人中任选2人的基本事件为：，共15种，事件“至少有1名
18、学生的成绩在区间内”的可能结果为：，共9种，所以故所求事件的概率为：【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.21.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴交于点，设，求的值【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）当直线斜率不存在时，为直径，长度不为，不成立.当直线斜率存在时，设出直线的斜截式方程，利用圆心到直线的距离以及弦长公式列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）当直线斜率不存在时，求得的坐标，根据，结合平面向量共线的坐标表示，求得的值，进
19、而求得的值.当直线斜率存在时，设出直线的斜截式方程，求得点坐标，联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理，结合平面向量共线的坐标表示，求得的表达式，进而求得的值.【详解】（1） 当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，解得，所以直线的方程为（2） 当直线的斜率不存在时，不妨设，因为，所以，所以，. 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，因为直线与轴交于点，所以直线与圆交于点，设，由得，因为，所以，所以，所以，综上.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查根据弦长求直线方程，考查直线和圆相交，交点坐标的求法，考查平面向量共线的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义，由时的解析式得时，对应的解析式，即求出实数的值；（2）由（1）知函数在区间上单调递增，所以，得实数的取值范围.【详解】（1）设，则，所以.（2）由，知在区间上单调递增，所以，解得.【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.