1、2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设A=xZ|x|3，B=y|y=x2+1，xA，则B中元素的个数是（）A5B4C3D无数个2若向量、，满足|=1、|=，（），则与的夹角为（）ABCD3为了得到y=sin2x的图象，可以将y=cos2x的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位4设f（）=，则f（）的值为（）ABC1D5 =（）A4B2C2D46已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=axax+2
2、（a0，且a1），若g（2）=a，则f（2）=（）A2BCDxR|2x27将函数f（x）=sin（x+）（0）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值可能等于（）A5B6C7D88若先将函数y=sin（x）+cos（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=9已知ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则ABC的面积为（）ABCD10ABC中，若，则的值为（）A2B4CD211在ABC中，BC=5，G，O分别为ABC的重心和外心，且=5，则
3、ABC的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D上述三种情况都有可能12已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则a+b+c+d的取值范围是（）A（12，）B（16，24）C（12，+）D（18，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知集合A=x|2x5，B=x|m+1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是14已知（0，），且tan（+）=3，则lg（8sin+6cos）lg（4sincos）=15若函数f（x）=sin（x+）（0且|）在区间（，）上是单调减函数，且函数值从1减小到1，则f（）=1
4、6已知向量，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17已知集合A=x|x22x30，xR，B=x|x22mx40，xR（1）若AB=x|1x3，求实数m的值；（2）若ARB，求实数m的取值范围18已知ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量=（sinCsin（2A），1）（I）如果，求a的值；（II）若，请判断ABC的形状19在锐角ABC中，（1）求角A；（2）若a=，当sinB+cos（C）取得最大值时，求B和b20在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=acosC
5、+csinA，cosB=（I） 求cosC的值；（）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长21设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若0a1，f（x+2）+f（32x）0，求x的取值范围；（3）若，且函数g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值22如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1（）写出cosC与cosA的关系式；（）设BCD和ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大
6、题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设A=xZ|x|3，B=y|y=x2+1，xA，则B中元素的个数是（）A5B4C3D无数个【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断【分析】将B用列举法表示后，作出判断【解答】解：A=xZ|x|3=3，2，1，0，1，2，3，B=y|y=x2+1，xA=10，5，2，1B的元素个数是4故选B2若向量、，满足|=1、|=，（），则与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】令（）=0解出，代入夹角公式【解答】解：（），（）=0，即+=0，=1cos=故选C3为了得到y=sin2x的图象，可以将
7、y=cos2x的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由于 y=sin2x=cos（2x）=cos2（x），再根据y=Asin（x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：y=sin2x=cos（2x）=cos2（x），将y=cos2x的图象向右平移个单位，即可得到 y=cos2（x）的图象，故选D4设f（）=，则f（）的值为（）ABC1D【考点】三角函数的化简求值【分析】运用诱导公式和同角的平方关系化简，结合特殊角的三角函数值，计算即可得到所求值【解答】解：f（）=，则f（）=故选：A5 =（）A4B2C2D4【
8、考点】诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数【分析】由已知可得原式等于，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果【解答】解： =4故选D6已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=axax+2（a0，且a1），若g（2）=a，则f（2）=（）A2BCDxR|2x2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据条件构造关于g（2）和f（2）的方程组来求解【解答】解：因为f（x）+g（x）=axax+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中
9、任意一个可求得f（2）=，故选C7将函数f（x）=sin（x+）（0）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值可能等于（）A5B6C7D8【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值【解答】解：由题意可知：函数f（x）=sin（x+）（0）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin（x+）+=sin（x+），与原图象重合，=+2k，kZ，解得：=4k，kZ，当k=2时，=8，故答案选：D8若先将函数y=sin（x）+cos（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向左平
10、移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得y=2sinx，利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：y=sin（x）+cos（x）=2sinx，先将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得函数为：y=2sin2x，再将所得图象向左平移个单位，所得函数为：y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=k+，kZ，可解得对称轴的方程是：x=k+，kZ，当k=0
11、时，可得函数图象的一条对称轴的方程是：x=故选：C9已知ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则ABC的面积为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得【解答】解：sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又cosB=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）22a2a，解得a=1，c=2，又cosB=，sinB=，ABC的面积S=acsinB=故选：B10ABC中，若，则的值为（）A2B4CD2【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算【分析】由条
12、件利用两个向量的数量积的运算法则求得acosBbcosA=c，再由余弦定理可得a2b2=c2根据 =，把余弦定理、正弦定理代入运算可得结果【解答】解：ABC中，即 +=，bccos（A）+accosB=c2，acosBbcosA=c，ab=，即 a2b2=c2=4，故选：B11在ABC中，BC=5，G，O分别为ABC的重心和外心，且=5，则ABC的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算【分析】在ABC中，G，O分别为ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以
13、及向量的平方即为模的平方，可得，又BC=5，则有|2=|2+|2|2+|2，运用余弦定理即可判断三角形的形状【解答】解：在ABC中，G，O分别为ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则ODBC，GD=AD，由=5，则（）=5，即（）=5，则，又BC=5，则有|2=|2+|2|2+|2，由余弦定理可得cosC0，即有C为钝角则三角形ABC为钝角三角形故选：B12已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则a+b+c+d的取值范围是（）A（12，）B（16，24）C（12，+）D（18，24）【考点】分段函数
14、的应用【分析】画出函数的图象，判断二次函数的对称轴，得到c+d的值，判断判断a+b的范围即可【解答】解：如图函数f（x）=，的图象，二次函数的对称轴为：x=5，f（a）=f（b）=f（c）=f（d），dcba0，由4|log2x|=4，解得x=或x=2可得c+d=10，而a+b（2，）则a+b+c+d的取值范围是：（12，）故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知集合A=x|2x5，B=x|m+1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是（，3【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据BA可分B=，和B两种情况：B=时，m+12m1；B时，这样便可得出实数m的取值范围【
15、解答】解：若B=，则m+12m1；m2；若B，则m应满足：，解得2m3；综上得m3；实数m的取值范围是（，3故答案为：（，314已知（0，），且tan（+）=3，则lg（8sin+6cos）lg（4sincos）=1【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质【分析】根据角的范围，由两角和的正切函数公式可求tan，利用对数的运算性质即可计算得解【解答】解：（0，），且tan（+）=3，=3，tan，lg（8sin+6cos）lg（4sincos）=lg=lg=lg10=1故答案为：115若函数f（x）=sin（x+）（0且|）在区间（，）上是单调减函数，且函数值从1减小到1，则f（）=【
16、考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数的单调性和最值求出 和的值即可得到结论【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0且|）在区间（，）上是单调减函数，且函数值从1减小到1，=，即函数的周期T=，T=，=2，则f（x）=sin（2x+），f（）=sin（2+）=1，sin（+）=1，即+=+2k，kZ，即=+2k，kZ，|，当k=0时，=，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2+）=sin（+）=cos=，故答案是：16已知向量，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出图形，结合图形，应用正弦定理，容易解出答案【解答】解：如图
17、所示（其中图中字母表示对应向量），向量+与的夹角为， +与的夹角为，CAB=，ACB=；由正弦定理，得=，即=；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17已知集合A=x|x22x30，xR，B=x|x22mx40，xR（1）若AB=x|1x3，求实数m的值；（2）若ARB，求实数m的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【分析】（1）求出B，A集合，根据集合的基本运算求解实数m的值；（2）求出根据集合B，求出RB，在ARB，求实数m的取值范围【解答】解：由题意：集合A=x|x22x30，xR=x|1x3，B=x|x22mx
18、40，xR=x|m2xm+2（1）AB=x|1x3，解得：m=3所以：AB=x|1x3时，实数m的值为3；（2）B=x|m2xm+2RBx|m2x或m+2xARB，m23或m+21解得：m5或m3所以：ARB时，实数m的取值范围是：（，3）（5，+）18已知ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量=（sinCsin（2A），1）（I）如果，求a的值；（II）若，请判断ABC的形状【考点】三角形的形状判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理【分析】（I）根据余弦定理以及c和C的值可求得a2+b2ab=4，进而根据三角形面积公式求得ab的值，最后联立方程求得
19、a（II）根据）可推断出sinCsin2Asin（BA）=0化简整理求得A为90判断出三角形为直角三角形或A=B判断三角形为等腰三角形【解答】解：（I）由余弦定理及已知条件得a2+b2ab=4，ab=4联立方程组得a=2（II），sinCsin2A+sin（BA）=0化简得cosA（sinBsinA）=0csoA=0或sinBsinA=0当，此时ABC是直角三角形；当sinBsinA=0时，即sinB=sinA，由正弦定理得b=a，此时ABC为等腰三角形ABC是直角三角形或等腰三角形19在锐角ABC中，（1）求角A；（2）若a=，当sinB+cos（C）取得最大值时，求B和b【考点】余弦定理的
20、应用；三角函数的最值【分析】（1）由余弦定理，结合条件，可得sin2A=1，即可求角A；（2）先得出B=时，sinB+cos（C）取得最大值，再利用正弦定理，即可得出结论【解答】解：（1）由余弦定理可得=ABC是锐角三角形，cosB0，sin2A=1，2A=，A=；（2）由（1）知，B+C=，sinB+cos（C）=sinB+cos（B）=sinB+cosBcos+sinBsin=sinB+cosB=sin（B+）0B，0B，B，B+，B+=，即B=时，sinB+cos（C）取得最大值，由正弦定理可得b=20在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=acosC+csinA，cosB
21、=（I） 求cosC的值；（）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长【考点】正弦定理【分析】（I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=1，进而可求A，即可利用三角形内角和定理，两角差的余弦函数公式计算得解cosC的值（）由（I）利用同角三角函数基本关系式可求sinACB的值，由正弦定理可求得AB，进而可求BD，利用余弦定理即可得解CD的值【解答】（本题满分为12分）解：（I）cosB=B（0，），sinB=，2分由b=acosC+csinA，可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin（C+A）=sinCc
22、osA+cosCsinA，可得：tanA=1，可得A=，则：cosC=cos（AB）=cos（B），4分=+=6分（）由（I）可得：sinACB=，8分由正弦定理可得：，即： =，解得：AB=14，10分因为，在BCD中，BD=AB=7，可得，CD2=BC2+BD22BCBDcosB=102+722=37解得：CD=12分21设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若0a1，f（x+2）+f（32x）0，求x的取值范围；（3）若，且函数g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；函数的最值及
23、其几何意义【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式f（x+2）+f（32x）0，即可求x的取值范围；（3）根据求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m【解答】解：（1）f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数f（0）=0，即k1=0，解得k=1（2）f（x）=axax（a0且a1）是奇函数不等式f（x+2）+f（32x）0等价为f（x+2）f（32x）=f（2x3），0a1，f（x）在R上是单调减函数，x+22x3，即x5x的取值范围是（5，+）（3），a，即3a28a3=0，解得a=3或a=（舍去）g（x）=32x+32x2m
24、（3x3x）=（3x3x）22m（3x3x）+2，令t=3x3x，x1，t，（3x3x）22m（3x3x）+2=（tm）2+2m2，函数g（x）在1，+）上的最小值为2当m时，2m2=2，解得m=2，不成立舍去当m时，（）22m，解得m=，满足条件，m=22如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1（）写出cosC与cosA的关系式；（）设BCD和ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值【考点】余弦定理【分析】（）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（）利用三角形面积公式变
25、形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值【解答】解：（）连接BD，CD=，AB=BC=DA=1，在BCD中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcosC=42cosC；在ABD中，BD2=22cosA，42cosC=22cosA，则cosA=cosC1；（）S=BCCDsinC=sinC，T=ABADsinA=sinA，cosA=cosC1，S2+T2=sin2C+sin2A=（1cos2C）+（1cos2A）=cos2C+cosC+=（cosC）2+，则当cosC=时，S2+T2有最大值2016年12月6日
