1、第二章圆锥曲线与方程24抛物线第22课时抛物线的简单几何性质(2)基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法2会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题基础巩固一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1抛物线y24px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()AF到y轴的距离 BF到准线l的距离CF的横坐标DF到抛物线上一点的距离A解析：焦点到准线的距离为2p，p表示点F到y轴的距离2已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是抛物线y28x的焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|
2、5，则该双曲线的离心率为()A.52B.5C2D.2 33C解析：易知抛物线的准线方程为x2.设P(x0，y0)，则x025，x03，y2024，由9a224b21，a2b24，得a21，b23，eca a2b2a2.3已知抛物线y24x的焦点为F，过点F且倾斜角等于 3 的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为()A2B4C6D8B解析：由已知得直线AF的方程为y 3(x1)代入y24x，得3x210 x30，解得x3或x13.当x3时，y2 3；当x13时，y2 33，则A(3,2 3)，故|AF|314.4经过抛物线y22px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1
3、)，B(x2，y2)两点，则y1y2x1x2的值是()A4B4Cp2Dp2B解析：采用特例法，当直线与x轴垂直时，易得Ap2，p，Bp2，p，故y1y2x1x24.5已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 2B2 3C4D2 5B解析：由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则点M到焦点的距离为xMp22p23，p2，抛物线方程为y24x.点M(2，y0)在抛物线y24x上，y2042，y02 2.|OM|4y20 482 3.6设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y29相切于点M，且M为线段
4、AB的中点，则这样的直线l有()A2条B3条C4条D无数条C解析：由于抛物线与圆都关于x轴对称，故当直线l与x轴垂直时，显然满足题意，此时，满足题意的直线l有2条当直线l与x轴不垂直时，假设存在满足题意的直线l，斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，所以y214x1，y224x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，从而k 2y0.又直线l与圆相切于M点，所以 y0 x052y01，解得x03，因为点M在圆上，所以y0 5，从而直线l的斜率k2y02 55，所以满足题意的直线l有2条，综上，这样的直线l有4条7过x轴上的点P(a,0)的直线与抛物线y2
5、8x交于A，B两点，若 1|AP|2 1|BP|2为定值，则实数a的值为()A1B2C3D4D解析：设直线AB的方程为xmya，代入y28x，得y28my8a0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28m，y1y28a.|AP|2(x1a)2y21(my1)2y21(m21)y21，同理，|BP|2(m21)y22，1|AP|2 1|BP|21m211y211y22 1m21y1y222y1y2y21y221m2164m228a64a2 4m2a4a2m21.1|AP|2 1|BP|2为定值，是与m无关的常数，a4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8AB是过抛物线x
6、24y焦点的弦，且|AB|10，则AB的中点的纵坐标为_.4解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2py1y2210，即y1y28，故AB的中点的纵坐标为4.9以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x20相切，则这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_(2,0)解析：直线x20即为抛物线的准线，依题意，圆心在抛物线上，圆心到准线的距离应等于它到定点的距离，该定点必为抛物线的焦点(2,0)10已知AB是抛物线y24x的一条过焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且AB所在的直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则 1y11y2_.12解析：直线AB过焦点F(1,0
7、)和点(0,2)，直线AB的方程为2xy20，与y24x联立，得y22y40，y1y22，y1y24，1y11y2y1y2y1y2 2412.11已知抛物线y22px过点M14，22，A，B是抛物线上的点，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率依次成等比数列，则直线AB恒过点_.14，0解析：抛物线y22px过点M14，22，p1，抛物线方程为y22x.设A y212，y1，B y222，y2，直线OA，OM，OB的斜率依次成等比数列，82y12y2，y1y212.直线AB的方程为yy12y1y2 xy212，令y0，可得x 12y1y214，直线AB恒过定点14，0.三、解答题(本大题共2
8、小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点，O为坐标原点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于 10时，求k的值解：(1)证明：由y2x，ykx1，消去x，得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y21，y1y21k.点A，B在抛物线y2x上，y21x1，y22x2，y21y22x1x2.又kOAkOBy1x1y2x2y1y2x1x2 1y1y21，OAOB.(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k0.令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN 12|ON|y1|12|ON|y2|
9、12|ON|y1y2|，SOAB121y1y224y1y2121k24.又SOAB 10，121k24 10，解得k16.13(13分)如图，已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若|AB|20，求直线l的方程解：由已知得焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)设直线l的方程为yk(x1)，AB的中点为M(x0，y0)则 x0 x1x22，y0y1y22，由y214x1，y224x2，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4，又y02，所以k1，故直线l的方程是
10、yx1.(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程联立得xmy1，y24x，消元得y24my40，16(m21)0，所以y1y24m，y1y24，|AB|m21|y1y2|m21y1y224y1y2 m214m2444(m21)因为|AB|20，所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.能力提升14(5分)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.|BF|1|AF|1 B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1 D.|BF|21|AF|21A
11、解析：由题意可知抛物线的准线方程为x1.如图所示，过A作AA1y轴于点A1，过B作BB1y轴于点B1，则SBCFSACF|BC|AC|BB1|AA1|BF|1|AF|1.15(15分)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为 3的直线与l相交于点A，与C交于点B，若AM MB，求抛物线C的方程解：设B，A点的坐标分别为(x1，y1)，p2，y2，如图，AM MB，M为AB的中点于是有x1p22，y1y20，即x1p22，y1y2.又ky21p2 3，y2 31p2，y1 31p2.把B点坐标代入抛物线方程得31p222pp22，整理得p2.故所求抛物线C的方程为y24x.谢谢观赏！Thanks!