1、第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理(对应学生用书(理)169170页)考情分析考点新知近几年高考二项式定理在理科加试部分考查，以后高考将会考查学生应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题.会用二项展开式以及展开式的通项，特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别.1. (选修23P32练习5改编)在(x)10的展开式中，x6的系数是_答案：1 890解析：Tr1Cx10r()r，令10r6，r4，T59Cx61 890x6.2. (选修23P32练习6改编)12的展开式的常数项是_答案：495解析：展
2、开式中，Tr1Cx12rr(1)rCx123r，当r4时，T5C495为常数项3. (选修23P35习题2改编)若CCCC363，则自然数n_答案：13解析：CCCCC3631，CCCC364，CCCC364，n13.4. (选修23P36习题12改编)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a7_答案：2解析：设f(x)(12x)7，令x1，得a0a1a2a7(12)71，令x0，得a01，a1a2a71a02.5. (选修23P35习题10改编)在(xy)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能为_答案：11，12，13解析：分三种情况： 若仅T7系数最大，则共有13项
3、，n12； 若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n11； 若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n13，所以n的值可能等于11，12，13.1. 二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(r0，1，2，n)叫做第r1项的二项式系数式中的Canrbr叫做二项式展开式的第r1项(通项)，用Tr1表示，即展开式的第r1项；Tr1Canrbr2. 二项展开式形式上的特点(1) 项数为n1.(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3) 字母a按降幂排列，从第
4、一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4) 二项式的系数从C，C，一直到C，C.3. 二项式系数的性质(1) 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等(2) 如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大(3) 二项式系数的和等于2n，即CCC2n.(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即CCCC2n1备课札记题型1二项式展开式的特定项例1如果的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，求：(1) 展开式的中间项；(2) 展开式
5、中所有的有理项解：(1) 展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C，C，由CC，得n9，所以展开式的中间项为第5项和第6项，即T5(1)4C(x3)4(x2)5，T6(1)5C(x3)5(x2)4.(2) 通项为Tr1C()8rCx(r0，1，2，8)，为使Tr1为有理项，必须r是4的倍数，所以r0，4，8，共有三个有理项，分别是T1Cx4x4，T5Cxx，T9Cx2.(1) 若(1x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n；(2) 已知(ax1)7(a0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a；(3) 已知(2xxlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的
6、值等于1 120，求x.解：(1) C7C，7n，即n23n400.由nN*，得n8.(2) Ca2Ca42Ca3，21a235a470a3，a0，得5a210a30a1.(3) C(2x)4(xlgx)41 120，x4(1lgx)1，所以x1，或lgx1，x.题型2二项式系数例2已知(x3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：(1) 展开式中二项式系数最大的项；(2) 展开式中系数最大的项解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n， 22n2n992，n5.(1) n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， T3C(
7、x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2) 设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C(x)5r(3x2)r3rCx， r， r4，即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x2)4405x.已知的展开式中前三项的系数成等差数列设a0a1xa2x2anxn.求：(1) a5的值；(2) a0a1a2a3(1)nan的值；(3) ai(i0，1，2，n)的最大值解：(1) 由题设，得CC2C， 即n29n80，解得n8，n1(舍)Tr1Cx8r，令8r5r3，所以a57.(2) 在等式的两边取x1，得a0a1a2a3a8 .(3) 设第r1的系数最大，则即解得r2或r3.
8、 所以ai系数最大值为7.题型3二项式定理的综合应用例3已知n展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大128，求n展开式中的系数最大的项和系数最小的项解：2n27128，n8，8的通项Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，当r4时，展开式中的系数最大，即T570x4为展开式中的系数最大的项；当r3，或5时，展开式中的系数最小，即T456x7，T656x为展开式中的系数最小的项已知(2x)50a0a1xa2x2a50x50，其中a0，a1，a2，a50是常数，计算(a0a2a4a50)2(a1a3a5a49)2.解：设f(x)(2x)50，令x1，得a0a1a2a5
9、0(2)50，令x1，得a0a1a2a50(2)50，(a0a2a4a50)2(a1a3a5a49)2(a0a1a2a50)(a0a1a2a50)(2)50(2)501.1. (2013新课标)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a_答案：1解析：已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为CaC5，解得a1.2. (2013天津理)6的二项展开式中的常数项为_答案：15解析：展开式的通项公式为Tk1Cx6kkCx6k(1)k.由6k0，得k4.所以常数项为T41C(1)415.3. (2013大纲版理)(1x)3(1y)4的展开式中x2y2的系数是_答案：18解析：(x1)
10、3的展开式的通项为Tr1Cxr，令r2得到展开式中x2的系数是C3.(1y)4的展开式的通项为Tr1Cyr，令r2得到展开式中y2的系数是C6，(1x)3(1y)4的展开式中x2y2的系数是3618.4. (2013辽宁理)使得n(nN)的展开式中含有的常数项最小的n为_答案：5解析：展开式的通项公式为Tk1C(3x)nkkC3nkxn.由n0，得n，所以当k2时，n有最小值5.1. 若n是奇数，则7nC7n1C7n2C7被9除的余数是_答案：7解析：原式(71)n1(91)n19k29k7(k和k均为正整数)2. 0.9915的近似值是_(精确到0.001)答案：0.956解析：0.9915
11、(10.009)5150.00910(0.009)210.0450.000 810.956.3. 用二次项定理证明32n28n9能被64整除(nN)证明：32n28n99n18n9(81)n18n9C8n1C8nC82C8C8n964(C8n1C8n2C)8(n1)18n9M64(记MC8n1C8n2C) M为整数， 64M能被64整除4. (1) 在(1x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？(2) 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项解：(1) 由已知得CCn7.(2) 由已知得CCC128，2n1128，n8，而展开式中二项式系数最大项是T41C(x)470x4.一般地，对于多项式g(x)(pxq)na0a1xa2x2anxn，则有：(1) g(x)的常数项的系数为g(0)；(2) g(x)的各项的系数和为g(1)；(3) g(x)的奇数项的系数和为g(1)g(1)；(4) g(x)的偶数项的系数和为g(1)g(1)备课札记