1、132 基本图形位置关系132.1 平面的基本性质课程标准1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面概念2.了解基本事实和确定平面的推论基础认知自主学习【概念认知】1平面(1)平面的概念平静的湖面给我们以平面的形象和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念(2)平面的画法平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母，等表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面、平面AC等2与平面有关的三个基本事实(1)基本事实1：过不在一条直线上的_
2、，有且只有一个平面如图：三个点(2)基本事实2：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在这个平面内空间中点、直线和平面的位置关系，可以借助集合中的符号来表示例如，在长方体ABCDA1B1C1D1中：两个点位置关系符号表示点P在直线AB上PAB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M平面AC点A1不在平面AC内A1平面AC直线AB与直线BC交于点BABBCB直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA1不在平面AC内AA1平面AC(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个_，那么它们有且只有一条过该点的公共直线这样，基本事实3就可以用符号表示为PPl且Pl.公共点3平面性质的三个基本事实的
3、三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面【自我小测】1已知直线m 平面，Pm，Qm，则()AP，Q BP，QCP，Q DQ【解析】选D.因为Qm，m，所以Q.因为Pm，所以有可能P，也可能有P.故选D.2在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有_条【解析】既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条答案：53如图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_答案：AC4如图
4、所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点【证明】连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF12 A1B，EF12 A1B，又因为A1BD1C，A1BD1C，所以EF12 D1C，EF12 D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，所以据基本事实3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1点P在直线a上，直
5、线a在平面内可记为()APa，a BP a，a CP a，a DPa，a【解析】选A.由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为Pa，直线a在平面内可表示为a，故A正确2两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A相交B重合C相交或重合 D以上都不对【解析】选C.若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合3已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条 B2条或3条C1条或3条 D1条或2条或3条【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面和平行时，它们的交线有2条；当这三个平面
6、两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线4如图所示，下列符号表示错误的是()Al BPl Cl DP【解析】选A.观察图知：Pl，P，l，则l是错误的5在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，则()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上【解析】选A.由题意得EF 平面ABC，HG 平面ACD，又EFHGM，故M平面ABC，且M平面ACD，又平面ABC平面ACDAC，所以M一定在直线AC上二、多选题6以下四个命题中，不正确的命题是()A不共面的四点中，其中任意三点不共线B若两个
7、平面有三个公共点，则这两个平面重合C若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D依次首尾相接的四条线段必共面【解析】选 BCD.A 正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；若三点共线，则这两个平面相交或重合，B 不正确；C 不正确，共面不具有传递性，若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 可能异面；D不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个顶点就不共面三、填空题7空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定_个平面【解析】可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面
8、答案：78设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.【解析】因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.答案：四、解答题9如图，梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由【解析】很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于ABCD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示因为EAC，AC 平面SAC，所以E平面SAC.同理，可证E平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线10一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条
9、直线共面【解析】已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c，l共面证明：方法一：因为ab，所以a，b确定一个平面，因为laA，lbB，所以A，B，故l.又因为ac，所以a，c确定一个平面.同理可证l，所以a且l.因为过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故与重合，即直线a，b，c，l共面方法二：由法一得a，b，l共面，也就是说b在a，l确定的平面内同理可证c在a，l确定的平面内因为过a和l只能确定一个平面，所以a，b，c，l共面【综合突破练】一、选择题1如果直线a 平面，直线b 平面，Ma，Nb，Ml，Nl，则()Al BlClM DlN【解析】选A.因为Ma，a，所以M，同理
10、，N，又Ml，Nl，故l.2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD13 DD1，NB13 BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是()A三角形B四边形C五边形D六边形【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD13 DD1，NB13 BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形3已知空间中有A，B，C，D，E五个点，如果点A，B，C，D在同一个平面内，点B，C，D，E在同一个
11、平面内，那么这五个点()A共面B不一定共面C不共面D以上都不对【解析】选B.若B，C，D共线，则这五个点不一定共面；若B，C，D不共线，则这五个点一定共面【误区警示】做此题容易忽略B，C，D共线的情况致错，所以考虑问题要全面4(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A.C1，M，O三点共线BC1，M，O，C四点共面CC1，O，A，M四点共面DD1，D，O，M四点共面【解析】选ABC.在题图中，连接A1C1，AC，则ACBDO，A1C平面C1BDM.所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
12、即C1，M，O三点共线，所以A，B，C均正确，D不正确【光速解题】判断点共线或者共面问题时，要看从这些点出发的直线是否相交或者平行二、填空题5若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_【解析】因为ACBD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD.因为lO，所以O.又因为OAB，所以O直线CD，所以O，C，D三点共线答案：共线6如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：(1)平面AB1平面A1C1_；(2)平面A1C1CA平面AC_；(3)平面A1C1CA平面D1B1BD_；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点
13、为_答案：(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是_【解析】在，中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PSQR，即在这三个图形中P，Q，R，S共面答案：三、解答题8用符号表示下列语句，并画出图形平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于A，B.点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，C不在直线AB上【解析】用符号表示：l，aA，aB，如图用符号表示：A，B，aC，CAB，如图9已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面【证明】如图所示，因为ab，所以直线a与b确定一个平面，设为，因为laA，lbB，所以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由基本事实2可知l.因为bc，所以由基本事实1可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由基本事实1的推论2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面