1、2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|x2x0，B=x|log2x1，则AB=（）A（0，1）B（1，2）C（2，+）D（0，1）（2，+）2若复数z满足z（1i）=1+i，则|z|=（）A1BCiDi3已知函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f（x）36153103252则函数f（x）在下列那些区间内一定存在零点？（）A（1，2）和（2，3）B（2，3）和（3，4）C（3，4）和（4，5）D（4，5）和（5，6）4
2、若a，bR，且ab，则（）A|a|b|Blg（ab）0CD2a3b5命题“若x1，+），则有x+2成立”的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为（）A0B1C2D36若是幂函数，则（）Af（x）在定义域上单调递减Bf（x）在定义域上单调递增Cf（x）是奇函数Df（x）是偶函数7已知命题p：若xy，则x2y2；命题q：“a=0”是“f（x）=+a为奇函数”的充分必要条件在命题pq；pq；pq；pq中，真命题是（）ABCD8设f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x32x2+1，则f（1）+g（1）=（）A2B1C0D19函数y=的图象大致是（）ABCD10若
3、0ab1，c1，则（）AacbcBlogaclogbcCalogbcblogacDabcbac11函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）有可能是（）Axsin（）Bxcos（）Cx2sin（）Dx2cos（）12设函数f（x）是函数f（x）（xR）的导函数，若f（x）f（x）=2x3，且当x0时，f（x）3x2，则不等式f（x）f（x1）3x23x+1的解集为（）A（，2）B（，+）C（，）D（2，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13已知函数y=logax（a0，a1）的图象过点（8，3），则其反函数为_14函数f（x）=在点（0，1）处的切线方程_15已知函数
4、f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为3，则a的值为_16已知函数f（x）=，若g（x）=f（x）k（x+1）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是_三、解答题（本部分共计6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分）17已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间18已知函数f（x）=a+（aR）是奇函数（）求函数f（x）的定义域及实数a的值；（）若函数g（x）满足g（x+2）=g（x）且
5、x（0，2时，g（x）=f（x），求g（5）的值19已知函数f（x）=axlnx（）讨论f（x）的单调区间；（）若不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围20已知函数f（x）=ln（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求证：当x（0，1）时，f（x）2（x+）21已知函数f（x）=（a0）（）求函数f（x）在1，2上的最大值；（）若函数f（x）有2个零点，求实数a的取值范围22设函数f（x）=xln（x+1）+（）若关于x的不等式f（x）0有实数解，求实数a的取值范围；（）若mn0，求证：emn1ln（m+1）ln（n+1）2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（
6、下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|x2x0，B=x|log2x1，则AB=（）A（0，1）B（1，2）C（2，+）D（0，1）（2，+）【考点】交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x1）0，解得：x0或x1，即A=（，0）（1，+），由B中不等式变形得：log2x1=log22，解得：x2，即B=（2，+），则AB=（2，+），故选：C2若复数z满足z（1i）=1+i，则|z|=（）A1B
7、CiDi【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z（1i）=1+i，z（1i）（1+i）=（1+i）（1+i），2z=2i，解得z=i则|z|=1故选：A3已知函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f（x）36153103252则函数f（x）在下列那些区间内一定存在零点？（）A（1，2）和（2，3）B（2，3）和（3，4）C（3，4）和（4，5）D（4，5）和（5，6）【考点】函数零点的判定定理【分析】直接利用函数的零点判定定理，求解即可【解答】解：由函数的零点判定定理可知：f（3）0，f（4）0，f（5）0，所以函数的零点所在的区
8、间为：（3，4）和（4，5）故选：C4若a，bR，且ab，则（）A|a|b|Blg（ab）0CD2a3b【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】对于A，B，D举反例即可说明，对于C根据指数函数的单调性即可判断【解答】解：对于A，若a=0，b=1，则不成立，对于B，若0ab1，则不成立，对于C，根据指数函数的单调性可得，正确，对于D，若a=3，b=2，则不成立，故选：C5命题“若x1，+），则有x+2成立”的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为（）A0B1C2D3【考点】四种命题的真假关系【分析】根据逆否命题的等价性以及四种命题的真假关系进行判断即可【解答】解：若x1，+），x+2=2，当
9、且仅当x=，即x=1时取等号，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若x+2，则x1，+），错误，当x0时，都满足条件，即逆命题为假命题，则否命题也为假命题，故命题的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为1个，故选：B6若是幂函数，则（）Af（x）在定义域上单调递减Bf（x）在定义域上单调递增Cf（x）是奇函数Df（x）是偶函数【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义求出m的值，从而求出函数的表达式，判断即可【解答】解：若是幂函数，则m1=1，即m=2，此时m24m+3=1，f（x）=，是奇函数，故选：C7已知命题p：若xy，则x2y2；命题q：“a
10、=0”是“f（x）=+a为奇函数”的充分必要条件在命题pq；pq；pq；pq中，真命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据条件先判断命题p，q的真假性，由复合命题的真假关系进行判断【解答】解：命题p：若xy，则x2y2；为假命题，当x=1，y=1时，不等式就不成立，命题q：若a=0则f（x）=为奇函数，即充分性成立，若f（x）=+a为奇函数，则f（x）=f（x），即a=（+a）=a，即a=a，则a=0，即必要性成立，即：“a=0”是“f（x）=+a为奇函数”的充分必要条件，则命题q是真命题，则pq为假命题；pq为真命题；pq为假命题；pq中为真命题故真命题的是，故选：D8设f
11、（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x32x2+1，则f（1）+g（1）=（）A2B1C0D1【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】把所给式子中的x换成x可得f（x）+g（x）=x32x2+1，由此求得f（1）+g（1）的值【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x32x2+1 ，f（x）g（x）=f（x）+g（x）=x32x2+1 ，f（x）+g（x）=x32x2+1，即f（x）+g（x）=x32x2+1，f（1）+g（1）=12+1=2，故选：A9函数y=的图象大致是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质【分析】
12、先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项【解答】解：f（x）=f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D10若0ab1，c1，则（）AacbcBlogaclogbcCalogbcblogacDabcbac【考点】对数值大小的比较【分析】利用幂函数、对数函数与指数函数的单调性即可得出【解答】解：0ab1，c1，acbc，logaclogbc，alogbcblogac，bc1ac1即abcbac故选：D11函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）有可能是（）Axsin（）Bxcos（）Cx2sin（）D
13、x2cos（）【考点】函数的图象【分析】函数的图象关于原点对称，得出函数y=f（x）为奇函数，排除CD，当x+时，0，故cos（）1，所以f（x）=xcos（）+，图象应呈上升趋势，可得到答案【解答】解：函数的图象关于原点对称，函数y=f（x）为奇函数，排除CD，当x+时，0，故cos（）1，所以f（x）=xcos（）+，图象应呈上升趋势，排除B，故选：A12设函数f（x）是函数f（x）（xR）的导函数，若f（x）f（x）=2x3，且当x0时，f（x）3x2，则不等式f（x）f（x1）3x23x+1的解集为（）A（，2）B（，+）C（，）D（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先构
14、造函数令F（x）=f（x）x3，由题意判断出F（x）的奇偶性和单调性，将不等式转化成f（x）x3f（x1）（x1）3，即F（x）F（x1），由函数单调性可得到|x|x1|，解得即可【解答】解：令F（x）=f（x）x3，F（x）=f（x）3x2，则由f（x）f（x）=2x3，可得F（x）=F（x），故F（x）为偶函数，又当x0时，f（x）3x2，即F（x）0，F（x）在（0，+）上为增函数不等式f（x）f（x1）3x23x+1化为f（x）x3f（x1）（x1）3，F（x）F（x1），由函数单调性可知：|x|x1|，解得x，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13已知函数y
15、=logax（a0，a1）的图象过点（8，3），则其反函数为y=2x【考点】反函数【分析】函数y=logax（a0，a1）的图象过点（8，3），可得3=loga8，解得a利用同底数的指数函数与对数函数化为反函数的关系即可得出【解答】解：函数y=logax（a0，a1）的图象过点（8，3），3=loga8，a3=8，解得a=2y=log2x，化为指数式可得：x=2y，把x与y互换可得：y=2x原函数的反函数为y=2x故答案为：y=2x；14函数f（x）=在点（0，1）处的切线方程xy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数后代入求出f（1），即为所求的切线斜率，再代入
16、点斜式进行整理即可【解答】解：由f（x）=，可得f（x）=，得在点x=0处的切线斜率k=f（0）=1，在点（0，1）处的切线方程为y1=x，即xy+1=0故答案为：xy+1=015已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为3，则a的值为【考点】定积分【分析】由函数图象求根据导数的几何意义可知的f（0）=0，求得b的值，利用定积分的几何意义即可求得a的值【解答】解：f（x）=3x2+ax+b，f（x）与x轴在原点相切，f（0）=0，即b=0，f（x）=x3+ax2，令f（x）=x3+ax2=0，解得x=
17、0或x=a，由题意可知：（x3+ax2）dx=3，（x4+ax3）=3，a4=3，解得：a=由图象可知a0，a=，故答案为：16已知函数f（x）=，若g（x）=f（x）k（x+1）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由y=f（x）k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），然后作出图象，利用数形结合的思想确定实数k的取值范围【解答】解：y=f（x）k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=k（x+1）的图象如图：因为1x0时，函数f（x）=x2x单
18、调递减，且f（x）0因为f（4）=ln5，即B（4，ln5）当直线y=k（x+1）经过点B时，两个函数有3个交点，满足条件此时ln5=5k，则k=，由图象可以当直线y=k（x+1）与f（x）=ln（x+1）相切时，函数y=f（x）k（x+1）有两个零点设切点为（a，ln（a+1），则函数的导数f（x）=，切线斜率k=，则切线方程为yln（a+1）=（xa），即y=x+ln（a+1），y=k（x+1）=kx+k，得a=e1，k=所以要使函数y=f（x）k（x+1）有三个零点，则k故答案为：三、解答题（本部分共计6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题
19、计为零分）17已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，即f（1）=1，f（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；（2）分别解不等式f（x）0和f（x）0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间【解答】解：（1）f（x）=3x26ax+2b，函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，f（1）=1，f（1）=013a+2b=1，36a+2b=0解得a=，b=
20、f（x）=x3x2x（2）f（x）=3x22x1由f（x）=3x22x10得x（，）或（1，+）由f（x）=3x22x10得x（，1）函数f（x）的单调增区间为：（，），（1，+），减区间为：（，1）18已知函数f（x）=a+（aR）是奇函数（）求函数f（x）的定义域及实数a的值；（）若函数g（x）满足g（x+2）=g（x）且x（0，2时，g（x）=f（x），求g（5）的值【考点】函数与方程的综合运用【分析】（）求得f（x）的定义域，由奇函数的定义可得f（x）=f（x），化简整理可得a的值；（）将x换为x+2，可得g（x+4）=g（x），即g（x）是周期为4的函数，将g（5）变形为g（1），计
21、算即可得到所求值【解答】解：（）2x10，解得：x0，函数f（x）的定义域为x|x0由，因为函数f（x）为奇函数，则f（x）=f（x），即2a=，即2a=2，解得a=1；（） 由（）知g（x+2）=g（x），g（x+4）=g（x+2）+2=g（x+2）=g（x），g（x）是周期为4的函数19已知函数f（x）=axlnx（）讨论f（x）的单调区间；（）若不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于，令，根据函数的单调性求出k（x）的最大值，从而求出a的范围即可【解答】解：（）函数的定义域
22、为（0，+），当a0，f（x）0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+），无递增区间；当a0，当时，f（x）0，当时f（x）0所以f（x）的单调递减区间为，递增区间为（）由f（x）0有axlnx，因为x0，所以axlnx等价于令，由k（x）=0可得x=e（0，e）（e，+）k（x）大于0小于0k（x）单调递增单调递减由上表可知，即实数a的取值范围是20已知函数f（x）=ln（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求证：当x（0，1）时，f（x）2（x+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，
23、即可得到所求切线的方程；（2）构造函数y=ln2（x+），0x1，求得导数，判断符号，由单调性即可得证【解答】（1）解：f（x）=ln的导数为f（x）=，可得在点（0，f（0）处的切线斜率为2，切点（0，0），即有在点（0，f（0）处的切线方程为y=2x；（2）证明：由y=ln2（x+），0x1，导数为y=2（1+x2）=2（1+x2）=，由0x1可得0，即导数y0在（0，1）恒成立，则有函数y=ln2（x+）在（0，1）递增，则有ln2（x+）0，故有当x（0，1）时，f（x）2（x+）21已知函数f（x）=（a0）（）求函数f（x）在1，2上的最大值；（）若函数f（x）有2个零点，求实数a
24、的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I），令f（x）=0，则对ln与1，2的大小关系分类讨论即可得出（）令，则问题转化为y=a与函数有2个交点利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（I），令f（x）=0，则当，即，f（x）在1，2上单调递增，；当，即，f（x）在上单调递增，在上单调递减，；当，即，f（x）在1，2上单调递减，（）令，则问题转化为y=a与函数有2个交点令，则x=1当x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0当x=1时，g（x）取得极大值也为最大值且x+，g（x）0；x，g（x）故时，y=a与函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点22设函
25、数f（x）=xln（x+1）+（）若关于x的不等式f（x）0有实数解，求实数a的取值范围；（）若mn0，求证：emn1ln（m+1）ln（n+1）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（）问题转化为f（x）min0，求出函数的导数，得到函数的最小值，从而求出a的范围即可；（）令a=1，则f（x）=xln（x+1），问题转化为证明emn1mn即可，记 g（x）=exx1，（x0），根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）关于x的不等式f（x）0有实数解，即f（x）min0，（x1），由 f（x）01x0f（x）在（1，0递减，在0，+）递增，由得 0a1，a的取值范围为（0，1（）令a=1，则f（x）=xln（x+1），由（）知f（x）在0，+）递增，mn0，f（m）f（n）即 mln（m+1）nln（n+1）mnln（m+1）ln（n+1），故要证原不等式，只要证：emn1mn记 g（x）=exx1，（x0），则 g（x）=ex10g（x）在（0，+）递增，g（x）g（0）=0即 ex1x（x0）令x=mn，则有：emn1mn，emn1ln（m+1）ln（n+1）2016年9月25日