1、考点08 函数与方程【考点分类】热点1函数零点的求解与判断1. 【2014山东高考理第8题】 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于之间时，符合题意，故选.考点：函数与方程，函数的图象.2.【2013重庆高考理科】若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内【答案】A【解析】：f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f
2、(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内故选考点：函数的零点3. 【2014天津高考理第14题】已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_【答案】4【2013天津高考】函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4【方法规律】1方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2函数零点的判断：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过先解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数
3、零点的存在性定理进行判断：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf（x）在区间（a，b）内必有零点.(3) 数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【解题技巧】1函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。确定函数的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有.若有,则函数在区间内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
4、确定方程在区间上根的个数的方法(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令；(2)构造，；(
5、3)作出图像；(4)由图像交点个数得出结论【易错点睛】1.函数零点忽视单调性的存在。例如：若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D不能确定解答：若函数f(x)在(2,2)内有一个零点，该零点可分两种情况：(1)该零点是变号零点，则f(2)f(2)0，因此选D.易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果
6、函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(2,2)内有一个零点时，f(2)f(2)的符号不能确定2.要注意对于在区间a，b上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)f(b)0，即f(a)f(b)0)的图象与零点的关系：000)的图象与x轴的交点（x1,0）,(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个（二重的）零个（4）给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 确定区间a，b，验证f(a)f(b)
7、0，给定精确度； 求区间(a，b)的中点c； 计算f(c)； (i)若f(c)0，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； (iii)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) 判断是否达到精确度.即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.4.名师二级结论：（）二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点分布情况根的分布(mnp为常数)图象满足的条件x1x2m (两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)x1mx2 (一根大于m，一根小于m)f(m)0x1，x2(m，n) (两根位于m，n之间)mx1nx2p (两根分别位于m与
8、n，n与p之间)只有一根在m，n之间或f(m)f(n)0（）有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变(4)函数至多有个零点5.课本经典习题：(1) 新课标A版必修一第88页，例1 求函数的零点的个数。 (2) 【课本典型习题改编，P119B组第1题】方程的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【经典理由】判断方程的根所在的大致范围这也是高考命题的一个热点，在教学中应引起足够的重
9、视6.考点交汇展示：(1)函数的零点与三角函数交汇例1【2014年高考原创预测卷（新课标）理】的零点个数为（ ）A6 B7 C8 D9【答案】C【解析】，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，的零点个数为8个.【考点定位】函数零点问题，函数图像.例2【2014年解析团队学易高考冲刺金卷36套（江苏版）预测卷】若关于的方程在区间上有唯一的实数解，则的取值范围为 . (2) 函数的零点与不等式交汇例3【关门卷数学（理）浙江版】已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（ ） A. B.2 C. D.1 (3) 函数的零点与函数的最值、极值等交汇例4【新课标第套预测卷（理）】 已知命题：
10、函数在内恰有一个零点；命题：函数在上是减函数.若且为真命题,则实数的取值范围是( ). A.B.C.D.或【答案】C例5【2014年高考原创预测卷（江苏版）】(本小题满分16分)设函数的图像关于坐标原点对称，且与轴相切.（1） 求的值；（2） 是否存在实数使函数在区间上的值域仍是区间？因为当时，所以函数在区间上是单调增函数，从而函数在区间上至多有一个零点.又因为当时，所以函数在区间上是单调减函数，于是，所以函数在区间上没有零点.故此时不存在.综上所述，不存在实数使函数在区间上的值域仍是区间. 16分【考点定位】 函数与方程思想 【考点特训】1. 【2014年温州市高三第一次适应性测试】设函数，
11、若和是函数的两个零点，和是的两个极值 点，则等于( )A B C D 2. 【改编自2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）】已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）A B C D的符号不确定3【2014锦州模拟】偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)x在x0,4上解的个数是()A1B2C3D44【2014抚顺模拟】已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，1C1,0) D(0,15【成都市新津中学高2014届高三（下）二月月考数学（理）】已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是
12、（ ）A. B. C. D. 【答案】C6.【2015届四川省成都市高中毕业班摸底测试理科数学试卷】已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4x)f(x)，且当x(1，3时，f(x)，则函数g(x)f(x)|lgx|的零点个数是（ ）A、7 B、8 C、9 D、107【上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A或； B0；C0或； D0或. 考点：函数的性质（偶函数，周期函数），直线与函数图象的交点.8【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】定义在
13、上的函数的单调增区间为，若方程恰有4个不同的实根，则实数的值为（ ）A B C1 D-1【答案】B【解析】试题分析：函数的单调增区间为，-1和1是的根，9. 【稳派2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】若函数满足且时，函数分别在两相邻对称轴与处取得最值1与-1，则函数在区间内零点的个数为（ ）A1006 B1007 C1008 D101010. (山东省日照市2014届高三3月第一次模拟考试)已知定义在R上的函数满足：，则方程在区间上的所有实根之和为A.B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意知函数的周期为，则函数在区间上的图象如下图所示：由图形可知函数在区间上的
14、交点为，易知点的横坐标为，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.考点：数形结合 图像 周期性11. (山东省日照一中2014届高三下学期开学考试)已知是定义在上的奇函数，满足,当时, ，则函数在区间上的零点个数是 （ ） A3 B5 C7 D9又函数是定义在上的奇函数，在区间上，又函数的是周期为的周期函数，则函数在区间上的零点，共9个，故选D.考点：函数的奇偶性和周期性，函数的零点.12. 【河北省衡水中学2014届高三上学期第五次调研考试】函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 考点：1.一元二次方程；2.函数图像；3.
15、图像的交点.13. 【成都七中高2014届高三3月高考模拟考试数学（理）】设函数，则函数的零点个数为 个 考点：函数的零点.14【江苏省连云港市2014届高三第二次调研考试数学试题】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 【答案】【解析】的图象与直线的交点的横坐标，当或或时，有两个交点，即方程有两个解，或称有两个零点，或或考点：函数的零点，函数的图象与性质，直线与曲线相交15. 【广东省梅州市2014届高三3月质检】已知函数f(x)=x-x,其中x表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 考点：新概念 数形结合 16
16、. 【南通市2014届高三第二次调研测试】设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为 17.【东育英实验学校2014届高考模拟试题（1）】已知定义在1,+）上的函数。给出下列结论：函数 f(x)的值域为0,4;关于x的方程有2n+4个不相等的实数根；当x时，函数f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S=2；存在，使得不等式成立，其中你认为正确的所有结论的序号为_.【答案】【解析】（2）当时，则，此时，此时；当时，则，此时，此时；18. 【2014南通高三期末测试】设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 考点：1.函数的性质;
17、2.函数的图象;3.图象的交点19.【湖北省黄冈市重点中学2014学年第二学期高三三月月考】已知（） （）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围； （）在（）的条件下，是否存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足，若存在，求实数的值，若不存在，说明理由 （）解： 令，设 ， 考点：1.函数与x轴的交点与方程的根的问题.2.函数的极值.3.等价转化的思想.4.函数的最值问题.20. 【湖北省八市2014届高三下学期3月联考】定义在R上的函数及二次函数满足：且.（I）求和的解析式；（II）；（III）设，讨论方程的解的个数情况【答案】（I）（II）（III）当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时
18、,方程有个解;当时,方程有个解.【解析】 ()设,依题意知:当时, ,在上单调递减, 6分在上单调递增, 解得:实数的取值范围为.9分()设,由()知, 的图象如图所示:21. ( 福建省龙岩市2014届高三上学期期末)（本小题满分14分） 已知函数f（x）lnxa2x2ax（aR）. （l）当a1时，证明：函数f（x）只有一个零点；（2）若函数f(x)在区间（1，十）上是减函数，求实数a的取值范围【答案】（1）证明过程详见解析；（2）【解析】 22.(山东省淄博市2014届高三3月模拟考试)（本小题满分14分）已知函数，（，）（）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；（）当时，若函
19、数有两个零点，求的取值范围 （）=，由得 8分 令，则 23.（山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试） (本小题满分13分)已知函数(I)判断的单调性；()求函数的零点的个数；(III)令，若函数在(0，)内有极值，求实数a的取值范围； (III) 首先确定函数的定义域,化简其解析表达式，并求其导数，根据可导函数极值存在的条件将问题转化为 的导函数在区间内有零点，可利用一元二次方程的根的分布理论去解决. 24.(山东省青岛市高三3月统一质量检测)（本小题满分14分）已知函数.（）当时，求曲线在点的切线方程；（）对一切,恒成立,求实数的取值范围；（）当时，试讨论在内的极值点的个数. ()由题意
20、:,即设,则当时,；当时, 所以当时，取得最大值故实数的取值范围为. 9分() ， 综上可知：当，在内的极值点的个数为1；当时, 在内的极值点的个数为0. 14分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，函数零点存在定理.25.(山东省威海市2014届高三3月模拟考试)（本小题满分13分）设函数（其中），已知它们在处有相同的切线.()求函数，的解析式；()求函数在上的最小值；（）判断函数零点个数.【答案】() . () ；（）函数只有一个零点. 当时，在单调递减，单调递增，. -5分 当时，在单调递增，； -6分26.【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】已知函数
21、.（1）求函数的极值；（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）不存在，详见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的定义域与导数，求出极值点后，利用图表法确定函数的单调性，从而确定函数的极大值与极小值；（2）结合（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，根据定义得到，问题转化为求方程在区间上的实数根，若方程的根的个数小于，则不存在“域同区间”；若上述方程的根的个数不少于，则存在“域同区间”，并要求求出相应的根，从而确定相应的“域同区间”. 27.
22、【广东省东莞市2014届高三模拟考试一】已知函数，（其中为常数）（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；（2）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围试题解析：（1），则，令，得或，而在处有极大值， 或；综上：或 （2）假设存在，即存在，使得，当时，又，故，则存在，使得， 当即时，得，； 当即时，得， 无解；综上： 同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当时，函数有5个不同的零点 考点：导数的运算、利用导数求函数的极值和最值、利用导数判断函数的单调性、求函数的零点.28.【广东省汕头市2014届高三
23、3月模拟考试】已知函数（其中）.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 当，即时，令，得或，函数的单调递增区间为，令，得，函数的单调递减区间为； 综上所述，当或或时，在上有且只有一个零点.考点：1.函数的单调区间与导数；2.分类讨论；3.函数的零点；4.零点存在定理29.【广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟考试】设函数.（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间t，t+3上的最大值. 试题解析：（1）， 令，解得 当x变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值故函数的单调递增区间为（-，-1），（a，
24、+）；单调递减区间为（-1，a）；因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当， 解得， 所以a的取值范围是（0，）. 在t，t+3上的最大值. 考点：导数 最值 零点30.【浙江省东阳中学2013-2014学年高二3月阶段考试】设函数， （）若曲线与轴相切于异于原点的一点，且函数的极小值为，求的值；（）若，且，求证：； 求证：在上存在极值点解析：（）， 依据题意得：，且2分，得或如图，得，代入得，. 4分 （）8分31. 【2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(理科)试卷】（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分
25、）对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围32. 【上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学（理）试题】(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析 （2）的定义域为， 5分 定义域关于原点
26、对称，又， ，所以函数为奇函数。 6分下面讨论在上函数的增减性. 由二项式定理， 14分所以，从而。 18分 考点：(1)方程有解与函数的值域；(2)函数奇偶性与单调性；(3)放缩法证明不等式【考点预测】1.【热点1预测】已知函数则函数的零点为( )A和1 B和0 C D2.【热点2预测】函数的零点所在区间是（ ）A B C D3.【热点3预测】已知函数,则在上的零点个数( )A.1 B.2 C.3 D.4 考点：零点 数形结合4.【热点4预测】已知为偶函数，当时，若函数恰有10个零点，则的取值范围为.A. B. C. D. 5.【热点5预测】已知函数（）求函数的极值；（）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围