1、典题精讲例1 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，若b=acosC,c=asinB，试判断ABC的形状.思路分析：本题已知条件中既涉及边又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理将边角互化，从而将问题解决.解:由b=acosC,得b=a，即2b2=a2+b2-c2.b2+c2=a2.A=90.c=asinB=a=b.故ABC为等腰直角三角形.绿色通道：判断三角形的形状，常常有两种方式，一是从边的角度加以判断，从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判断，从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系.变式训练 (经典回放)在ABC中，若acosA=bcosB，求证：ABC是等
2、腰三角形或直角三角形.思路分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定，本题可考虑把边化为角，寻找三角形的角之间的关系，然后予以判定.在正弦定理的推广中，a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC是边化角的主要工具.证明:由正弦定理,得.又acosA=bcosB,即,即sinAcosA=sinBcosB.sin2A=sin2B.2A=2B或2A=-2B.A=B或A+B=.ABC是等腰三角形或直角三角形.例2 (2006天津高考，理17)如图1-1-1,在ABC中，AC=2，BC=1，cosC=.图1-1-1(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值.思路
3、分析：已知两边及其夹角，求第三边，要用余弦定理;求三角函数的值，需求sinA及sinC的值，就要用正弦定理.解:(1)由余弦定理，有AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=4+1-221=2，所以AB=.(2)由cosC=且0C，得sinC=.由正弦定理,得sinA=.所以cosA=.由倍角公式sin2A=2sinAcosA=,且cos2A=1-2sin2A=,故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=.绿色通道：正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角变换,同时注意三角形中的一些重要性质(内角和,大边对大角,射影定理等).变式训练 (2
4、005天津高考，理17)在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和.求A和tanB的值.思路分析：b2+c2-bc=a2的结构与余弦定理相类似，用正弦定理把边的关系转化为角的问题.解:cosA=，所以A=60.由C=180-A-B=120-B，得.所以tanB=.例3 如图1-1-2，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGA=().图1-1-2(1)试将AGM、AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为的函数.(2)求y=的最大值与最小值.思路分析：(1)求表示三角形面积的函数，需解决
5、边长问题，在AGM及AGN中，关键是用正弦定理求MG、GN的长度.(2)将(1)所给的函数化简变形，尽量化成最简形式,再根据表达式特点求最值.解：(1)因为G是边长为1的正ABC的中心，所以GA=，MAG=.由正弦定理,得GM=.则S1=GMGAsin=.同理,可得S2=.(2)y=sin2(+)+sin2(-)=72(3+cot2).因为，所以当=或=时，y取得最大值ymax=240.当=时，y取得最小值ymin=216.绿色通道：在知识的交汇点处出题是高考的一个特点.解三角形问题要注重正余弦定理、三角形的性质、三角变换、函数思想的综合应用.黑色陷阱：(1)错误之一是不能正确列出面积表达式.
6、要养成结合图形及基础知识，分析已知条件和所求结论之间的联系的习惯.(2)另一错误是三角公式不能灵活应用，三角变换不熟练，化简与变形存在问题，要熟记基本公式及常见的三角函数恒等变形.变式训练 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2=ac，求y=的取值范围.思路分析：将所给的解析式化简，实现角函数名称、运算的统一，化简为y=sinB+cosB，同时要注意函数的要素定义域，由b2=ac，结合不等式、正余弦定理求出角B的范围.解:cosB=，0B.又y=sinB+cosB=sin(B+).由0B，得B+. sin(B+)1.1y2.例4 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,B
7、C=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.思路分析：连结AC，将四边形转化为两个有公共边的三角形，在三角形中,利用正弦、余弦定理解决.解:如图1-1-3，连结AC，B+D=180，sinB=sinD.图1-1-3S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBCsinB+ADDCsinD=14sinB.由余弦定理，得AB2+BC2-2ABBCcosB=AD2+DC2-2ADDCcosD,即40-24cosB=32-32cosD.又cosB=-cosD,56cosB=8，cosB=.0B180，sinB=1-cos2B=.S四边形ABCD=14sinB=.黑色陷阱：本题误区之一是不能有效地把四
8、边形的面积进行分解，以至于找不到解决问题的思路.误区之二，在过程的书写上不能将条件写全，过程出现错误.变式训练 (2005湖北高考，文18)在ABC中，已知tanB=,cosC=,AC=，求ABC的面积.思路分析：考虑到三角形面积公式的形式，如何求出两边和它们夹角的正弦值是关键.解法一:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB=,得B=60,sinB=,cosB=.又sinC=,应用正弦定理得c=.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.故所求面积SABC=bcsinA=.解法二：同解法一可得c=8，又由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,即54=
9、a2+64-2a8,a2-8a+10=0.解得a1=,a2=.B=60,0C90,30A120.由,得a=sin30=3,而a2=3,舍去,故a=.故所求面积SABC=acsinB=.问题探究问题1 在涉及三角形的解的个数题目中，如何来对三角形的解的个数进行确定？导思：在三角形中解的个数取决于边角关系，确定解可以通过研究边角关系进行.边角关系的最直接体现就在正余弦定理中.下面通过正余弦定理研究解的个数.探究：一般地，已知两边和其中一边的对角(如:已知a、b和A)，用正弦定理求B的各种情况：(1)若A为锐角时,如图1-1-4所示：已知边a、b和A,图1-1-4(2)若A为直角或钝角，则问题2 对
10、于正弦定理，在直角、锐角三角形中都已证明是成立的，那么在钝角三角形中是否仍然成立呢？导思：对于此问题的证明，除了课本上用三角函数的方法之外，还可以采用向量的方法证明.选择过点A且与的单位向量，找出它与三角形三边所在向量的夹角，由于+=0,i(+)=0.利用向量的数量积运算可以推导公式成立.探究：如图1-1-5，当ABC为钝角三角形时，过A点作单位向量i，则i与的夹角为90，i与的夹角为-B，i与的夹角为+-A,即.图1-1-5设|=c,|=a,|=b.+=0,i(+)=0.i+i+i=0,即|i|cos+|i|cos(-B)+|i|cos(-A)=0.整理得asinB=bsinA.同理,可得,得证.