1、10.3二项式定理1 二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN)这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(r0,1,2，n)叫做二项式系数式中的Canrbr叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，通项是展开式的第r1项，即Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)2 二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C
2、.3 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当r时，二项式系数是递减的当n是偶数时，那么其展开式中间一项T的二项式系数最大当n是奇数时，那么其展开式中间两项T 和T的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Canrbr是二项展开式的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)
3、n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项()2 (12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80 B40 C20 D10答案B解析Tr1CanrbrC15r(2x)rC2rxr，令r2，则可得含x2项的系数为C2240.3 在()n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A7 B7 C28 D28答案B解析由题意有n8，Tr1C()8r(1)rx，r6时为常数项，常数项为7.4 已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A63 B64 C31 D32答案A解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC
4、(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.故选A.5 设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.答案0解析a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10C，a11C，所以a10a11CC0.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数例1已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思维启迪先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项解(1)通项公式为Tr1CxrxCrx.因为第6项为常数项，所以r5时，0，即n10.(2)令2，得r2，故含x2的项的系数是C2.(3)根据
5、通项公式，由题意得，令m (mZ)，则102r3m，r5m，rN，m应为偶数m可取2,0，2，即r可取2,5,8，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可(1)(2013江西)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40(2)(x)(2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A40 B20 C20 D40答案(1)C(2)D解析(1)Tr1C(x2)5rrC(2)rx
6、105r，令105r0得r2.常数项为T3C(2)240.(2)令x1得(1a)(21)51a2，所以a1.因此(x)(2x)5展开式中的常数项即为(2x)5展开式中的系数与x的系数的和(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r(1)rxrC25rx52r(1)r.令52r1，得2r4，即r2，因此(2x)5展开式中x的系数为C252(1)280.令52r1，得2r6，即r3，因此(2x)5展开式中的系数为C253(1)340.所以(x)(2x)5展开式中的常数项为804040.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数
7、的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和思维启迪求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CC
8、C29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa
9、2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.已知f(x)(1x)m(12x)n (m，nN)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和解(1)由已知得C2C11，m2n11，x2的系数为C22C2n(n1)(11m)2.mN，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1
10、a2a3a4a52533，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)思维启迪(1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可解(1)原式46n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.17
11、2.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式(1)(2012湖北)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()A0 B1 C11 D12(2)SCCC除以9的余数为_答案(1)D(2)7解析(1)512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2 012a能被13整除，即a1能被13整除，所以a12.(2)SC
12、CC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)2.C98C97C是整数，S被9除的余数为7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(12分)已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992.求在2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项易错分析本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别规范解答解由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，2n32，解得n5.2分(1)由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系
13、数最大，即C252.二项式系数最大的项为T6C(2x)558 064.6分(2)设第k1项的系数的绝对值最大，Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k，得，即解得k，10分kZ，k3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4C27x415 360x4.12分温馨提醒(1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别方法与技巧1 通项为Tr1Canrbr是(ab)n的展开式的第r1项，而不是第r项，这里r0,1，n.2 二项式系数与项的
14、系数是完全不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关3 因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法4 运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系失误与防范1 区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正2 切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整
15、数)“系数最大的项”等概念3 赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1.4 在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a、b.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 (2012天津)在5的二项展开式中，x的系数为()A10 B10 C40 D40答案D解析因为Tk1C(2x2)5kkC25kx102k(1)kxkC25k(1)kx103k，令103k1，得k3，所以x的系数为C253(1)340.2 (13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于()A6 B7 C8 D9答案B解析(13x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5C35x5，
16、展开式中含x6的项为C36x6，由两项的系数相等得C35C36，解得n7.3 ()10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是()A0 B2 C4 D6答案B解析()10的展开式中第r1项为C()10r()r(1)rCx，当5为正整数时，r0,2，项数为2.4 若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为()A4 B. C4 D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为4a115，a4.5 若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2(1)nan等于()A.(3n1) B.(3n2)C.(3n
17、2) D.(3n1)答案D解析在展开式中，令x2得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1)二、填空题6 二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)答案10解析Tk1Cx5kyk(k0,1,2,3,4,5)，由题意知，含x2y3的系数为C10.7 (2012浙江)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tk1C(1x)5k(1)k，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.8 (1)20的二
18、项展开式中，x的系数与x9的系数之差为_答案0解析Tk1C(x)k(1)kCx，x与x9的系数分别为C与C.又CC，CC0.三、解答题9 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于
19、零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.10已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8
20、的系数为C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，T11C2210x1016 896x10.B组专项能力提升(时间：15分钟)1 若(xa)2(1)5的展开式中常数项为1，则a的值为()A1 B9C1或9 D1或9答案D解析由于(xa)2x22axa2，而(1)5的展开式通项为Tr1(1)rCxr5，其中r0,1,2，5.于是(1)5的展开式中x2的系数为(1)3C10，x1项的系数为(1)4C5，常数项为1，因此(xa)2(1)5的展开式中常数项为1(10)
21、2a5a2(1)a210a10，依题意a210a101，解得a210a90，即a1或a9.2 若(3x)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A5 B5 C405 D405答案C解析令x1得2n32，所以n5，于是(3x)5展开式的通项为Tr1(1)rC(3x)5r()r(1)rC35rx52r，令52r3，得r1，于是展开式中含x3的项的系数为(1)1C34405，故选C.3 从()20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为()A. B. C. D.答案B解析()20的展开式通项为Tr1C()20r()rCx，其中r0,1,2，20.而当r0,4,8,12,16,
22、20时，5r为整数，对应的项为有理项，所以从()20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为P.4 (xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_答案240解析Tr1(1)rCx10ryr，C(C)2C240.5 在(1x)3(1)3(1)3的展开式中，x的系数为_(用数字作答)答案7解析由条件易知(1x)3、(1)3、(1)3展开式中x的系数分别是C、C、C，即所求系数是3317.6 若(x)10a0a1xa2x2a10x10，则(a0a2a10)2(a1a3a9)2的值为_答案1解析设f(x)(x)10，则(a0a2a10)2(a1a3a9)2(a0a1a10)(a0a1a2a9a10)f(1)f(1)(1)10(1)101.