1、淮阴区期中调研测试数学试题一、 选择题（本大题满分70分，每小题5分）1、 设集合，若，则实数的取值范围为 2、 复数的实部为 3、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生 4、从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为 5、函数的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为 6、阅读如图11所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 图117、等比数列的公比大
2、于1，则 8、一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 倍。9、在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 10、设函数的最大值为，最小值为，则 11、已知点是函数图像上的点，直线是该函数图像在点处的切线，则 12、设为中线的中点，为边中点，且，若，则 13、若存在正数使成立，则的取值范围是 14、已知，则的最小值为 二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本题满分14分）已知（1）求的值；（2）求的值。16、（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，AFPC于点F，FECD交PD
3、于点E.(1) 证明：CF平面ADF；(2) 若，证明平面17、（本题满分15分）设椭圆的左焦点为，短轴上端点为，连接并延长交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，过三点的圆的圆心为。（1） 若的坐标为，求椭圆方程和圆的方程；（2） 若为圆的切线，求椭圆的离心率。18、为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草。如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形的顶点为圆心，在圆周上，在半径上，设计要求。 （1）请设置一个变量，写出该蝶形区域的面积关于的函数表达式； （2 为多少时，该蝶形区域
4、面积最大？POBQA19、（本题满分16分设数列的前项和为（1）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求常数的值，使对一切大于零的自然数都成立。（2）若数列是首项为，公差的等差数列，证明：存在常数使得对一切大于零的自然数都成立，且。（3）若数列满足，（）为常数，且，证明：当时，数列为等差数列。20、（本题满分16分）已知函数，（1）证明为奇函数，并在上为增函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围（3）设，当时，求的最大值。数 学（附加题）21、（本小题满分10分） 已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点变成了点，点变成了点，求矩阵M.22、（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆与
5、直线相切，求实数a的值。23、（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAAC，ABACA1B2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP，并求出二面角PABA1的平面角的余弦值（第23题）24、（本小题满分10分） 已知展开式的各项依次记为设（1）若的系数依次成等差数列，求的值；（2）求证：对任意，恒有 数学答案及评分标准一、 填空题1、； 2、-3； 3、60； 4、； 5、； 6、9； 7、4 8、； 9、2 ； 10、； 11、； 12、； 13、；14、二、 解答题15、解：（1）由得，。4分
6、，每个数据2分。公式2分 。结论2分 （2）。2分，公式和结论各1分 。2分，也可以用平方关系方法得到 。 2分，公式和结论各1分16、（1）由PD平面ABCD，得（1分） 由平面（3分，少一个条件扣一分） （1分） 由平面（2分） （2）因为AD=PD，由（1）知，F为PC中点。取AD中点M。连AM、EM，证明FO/EM 本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 17、（1）因为三角形BFO为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF中点C， 由C点坐标为得，所以，圆半径，所以椭圆方程为，圆方程为（4分，每个方程2分） （2）由AD与圆C相切，得 BF方程为 由得。（6分，每个坐标3分
7、） 得， ， （5分）18、（1）设，在三角形中，由正弦定理得 （7分） （2）整理得（整理过程和结论共6分，过程4分，结论2分）所以时，蝶形区域面积最大（2分）注：本题也可以用余弦定理和基本不等式解答，参照得分19、（1） 所以 （4分）（2）在等差数列中，所以 所以存在，使得命题成立（6分）（3）由题知 若则，与题设矛盾 所以 ，得 所以 数列为等差数列（6分）20、（1），所以为奇函数（2分）不写定义域扣1分 在上恒成立，所以在R上增（2分） （2）由变形得 令 得 得。（本小题共6分） （3）g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x
8、2b(exex)(4b2) 2(exex2)(exex2b2)(i)当b2时，g(x)0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(，)上单调递增而g(0)0，所以对任意x0，g(x)0.(ii)当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln(b1)时，g(x)0.而g(0)0，因此当0xln(b1)时，g(x)0.综上，b的最大值为2.。（本小题共6分）理科附加题答案21. 22、解：a=1或 -123、（第23题）解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0, 2, 0)，B(2, 0 , 0)，A1(0,2, 2)，B1(4, 0 , 2)从而，(0,2, 2)，(2, 2, 0) 2分记与
9、的夹角为，则有cos.又由异面直线AA1与BC所成角的范围为（0，），可得异面直线AA1与BC所成的角为60. 4分（2）记平面PAB和平面ABA1的法向量分别为m和n，则由题设可令m(x, y, z)，且有平面ABA1的法向量为n(0,2,0).设(2, 2, 0)，则P(42, 2, 2)于是AP，解得或又题设可知(0, 1)，则舍去，故有从而，P为棱B1C1的中点，则坐标为P(3, 1, 2) 6分由平面PAB的法向量为m，故m且m.由m0，即(x, y, z)(3, 1 ,2)0，解得3xy2z0； 由m0，即(x, y, z)(1,1,2)0，解得xy2z0，解方程、可得，x0，y2z0，令y2，z1，则有m(0,2, 1) . 8分记平面PAB和平面ABA1所成的角为，则cos.故二面角PABA1的平面角的余弦值是 10分24、24解：（1）依题意，的系数依次为，所以，解得； 4分（2）设，则考虑到，将以上两式相加得：所以又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，所以对任意， 10分