1、学案75坐标系与参数方程导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用自主梳理1极坐标系的概念在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做_；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个_设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的_，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的_，记为.有序数对(，)叫做点M的_，记作(，)2极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作
2、为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，y_.另一种关系为：2_，tan _.3简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程(，)0，并且坐标适合方程(，)0的点都在曲线上，那么方程(，)0叫做曲线的_(2)常见曲线的极坐标方程圆的极坐标方程_表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；_表示圆心在(r，)半径为|r|的圆；_表示圆心在极点，半径为|r|的圆直线的极坐标方程_表示过极点且与极轴成角的直线；_表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；_表示过(b，
3、)且平行于极轴的直线；sin()0sin(0)表示过(0，0)且与极轴成角的直线方程4常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程若直线过(x0，y0)，为直线的倾斜角，则直线的参数方程为这是直线的参数方程，其中参数l有明显的几何意义(2)圆的参数方程若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为00)的参数方程为自我检测1(2010北京)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线2(2010湖南)极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线 B直线、圆C圆、圆 D直线、直线3(2010重庆)直线yx与圆心
4、为D的圆(0,2)交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()A. B.C. D.4(2011广州一模)在极坐标系中，直线sin()2被圆4截得的弦长为_5(2010陕西)已知圆C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为_.探究点一求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的方程为_变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 (2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐
5、标系曲线C的极坐标方程为cos1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程变式迁移2 (2010东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin()，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标探究点三参数方程与普通方程的互化例3 将下列参数方程化为普通方程：(1)；(2)；(3).变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图(1)(为参数)；(2) (t为参数)探究点四参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆3cos 被直线(t是
6、参数)截得的弦长变式迁移4 (2011课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中和的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题二、在普通方程中，有些F(x，y)0不易得到，这时可借助于一个中间
7、变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1在极坐标系中，与点(3，)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是()A(3，) B(3，
8、) C(3，) D(3，)2曲线的极坐标方程为2cos21的直角坐标方程为()Ax2(y)2 B(x)2y2Cx2y2 Dx2y213(2010湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A4 B. C2 D24(2010佛山模拟)已知动圆方程x2y2xsin 22ysin()0(为参数)，那么圆心的轨迹是()A椭圆 B椭圆的一部分C抛物线 D抛物线的一部分5(2010安徽)设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A1 B2 C3 D4二、填空题(每小题4分，共12分)6(2010天津)
9、已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_7(2011广东)已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，它们的交点坐标为_8(2010广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为(为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程10(12分)(2010福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为
10、极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.11(14分)(2010课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线学案75坐标系与参数方程自主梳理1极轴极坐标系极径极角极坐标2.cos sin x2y2(x0)3.(1)极坐标方程(2)2rcos 2rsin r(R)cos asin b自我检测1C2.A3.C445(1,1)，(
11、1,1)解析ysin ，直线l的直角坐标方程为y1.由得x2(y1)21.由得或直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,1)和(1,1)课堂活动区例1 解题导引求曲线的极坐标方程的步骤：建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略答案asin ，0解析圆的直径为a，设圆心为C，在圆上任取一点A(，)，则AOC或，即AOC|.又acosAOCacos|asin .圆的方程是asin
12、 ，0.变式迁移1 解设P(，)是直线l上任意一点，OPcos OA，即cos a，故所求直线的极坐标方程为cos a.例2 解题导引直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验解(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2，当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)M点的直角坐标为(2,0)
13、N点的直角坐标为(0，)所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，(，)变式迁移2 解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0.直线l：sin()，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)例3 解题导引参数方程通过消去参数化为普通方程对于(1)直接消去参数k有困难，可通过两式相除，先降低k的次数，再运用代入法消去k；对于(2)可运用恒等式(sin cos )21sin 2消去；对于(3)可运用恒等式()2()21消去t.另外，参数
14、方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致解(1)两式相除，得k.将k代入，得x.化简，得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程是y22x，x0,2(3)由()2()21，得x24y21.又x1，得所求的普通方程是x24y21(x1)变式迁移3 解(1)由y2(sin cos )21sin 212x，得y22x1.sin 2，x.sin cos ，y.故所求普通方程为y22 (x，y)，图形为抛物线的一部分图形如图甲所示(2)由x2y222
15、1及x0，xy0知，所求轨迹为两段圆弧x2y21 (0x1,0y1或1x0，1y0)图形如图乙所示例4 解题导引一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决解将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos 即：x2y23x，即(x)2y2.即：2xy30.所以圆心到直线的距离d0，即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.变式迁移4 解(1)设P(x，y)，则由条件知M(，)由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以|A
16、B|21|2.课后练习区1B由于极径不变，极角关于极轴对称，其对称点为(3，)故选B.2B2cos21，2cos 即x2y2x，(x)2y2.3C4sin 化为普通方程为x2(y2)24，点(4，)化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为2，故选C.4D圆心轨迹的参数方程为即消去参数得y212x(x)，故选D.5B曲线C的方程为(为参数)，(x2)2(y1)29，而l为x3y20，圆心(2，1)到l的距离d.又3，有2个点6(x1)2y22解析直线(t为参数)与x轴的交点为(1,0)，故圆C的圆心为(1,0)又圆C与直线xy30相切，圆C的半
17、径为r，圆C的方程为(x1)2y22.7(1，)解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为y21(0y1，0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.(12分)方法二(1)同方法一(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r，直线l的普通方程为yx3.(8分)由得x23x20.解得或(10分)不妨设A(1,2)，B(2,1)，又点P的坐标为(3，)，故|PA|PB|3.(12分)11解(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21，联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(，)(7分)(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A点坐标为(sin2，cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)(9分)P点轨迹的普通方程为(x)2y2.(12分)故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆(14分)
