1、2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形 性质范围xa 或 xaya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率eca1 渐近线ybaxyabx思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同(2
2、)e2c2a21b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e 2.基础自测1思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点()(2)等轴双曲线的渐近线是 yx.()(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长()答案(1)(2)(3)2双曲线x216y21 的顶点坐标是()A(4,0)，(0,1)B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1)D(4,0)，(0，1)B 由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a4，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)，(4,0)3若双
3、曲线x24y2m1(m0)的渐近线方程为 y 32 x，则双曲线的焦点坐标是_.【导学号：97792087】(7，0)，(7，0)由双曲线方程得出其渐近线方程为 y m2 x，m3，求得双曲线方程为x24y231，从而得到焦点坐标为(7，0)，(7，0)合 作 探 究攻 重 难根据双曲线方程研究几何性质(1)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2 的渐近线方程为()Ax 2y0 B.2xy0Cx2y0 D2xy0(2)求双曲线 nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离
4、心率、顶点坐标和渐近线方程解(1)椭圆 C1 的离心率 e1 a2b2a，双曲线 C2 的离心率 e2 a2b2a.由 e1e2 a2b2aa2b2a1ba 21ba2 32，解得ba212，所以ba 22，所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y 22 x，即 x 2y0.答案 A(2)把方程 nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程x2my2n1(m0，n0)，由此可知，实半轴长 a m，虚半轴长 b n，c mn，焦点坐标为(mn，0)，(mn，0)，离心率 eca mnm1nm.顶点坐标为(m，0)，(m，0)渐近线的方程为 ynmx mnm x.规律方法 由双曲线的方程研究几何 性质
5、的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值(3)由 c2a2b2 求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置跟踪训练1(1)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的是()Ax2y241 B.x24y21C.y24x21 Dy2x241C A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，可排除；C、D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，令y24x20，得 y2x；令 y2x240，得 y12x.故选 C.(2)若双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay2xBy 2xCy12
6、xDy 22 xB 在双曲线中，离心率 eca1ba2 3，可得ba 2，故所求的双曲线的渐近线方程是 y 2x.利用几何性质求双曲线方程(1)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241C.x23y21 Dx2y231(2)渐 近 线 方 程 为 y 12 x，且 经 过 点 A(2，3)的 双 曲 线 方 程 为_.【导学号：97792088】思路探究(1)OAF 是边长为 2 的等边三角形求 c 和点 A 的坐标渐近线的斜率求 a，b(
7、2)方法一：分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况求解方法二：待定系数法求解解析(1)不妨设点 A 在第一象限，由题意可知 c2，点 A 的坐标为(1，3)，所以ba 3，又 c2a2b2，所以 a21，b23，故所求双曲线的方程为 x2y231，故选 D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为 y12x，若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：x2a2y2b21(a0，b0)，则ba12.因为点 A(2，3)在双曲线上，所以 4a2 9b21.联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则ab12.因为点 A(2，3)在双曲线上，所以 9a2 4
8、b21.联立，解得 a28，b232.故所求双曲线的标准方程为y28x2321.法二：由双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线的方程为x222y2(0)因为点 A(2，3)在双曲线上，所以2222(3)2，即 8.故所求双曲线的标准方程为y28x2321.答案(1)D(2)y28x2321规律方法 1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量 a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为 mx2ny21(mn
9、0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为 ynmx 的双曲线方程可设为x2m2y2n2(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为 AxBy0，那么双曲线的方程可设为 A2x2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2 或y2a2x2b2(0)(3)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2y2b2(0)或y2a2x2b2(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程；(1)以直线 2x3y0 为渐近线，过点(1,2
10、)；(2)与双曲线y24x231 具有相同的渐近线，且过点 M(3，2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y264x2161 离心率相等；解(1)由题意可设所求双曲线方程为 4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得 32.因此所求双曲线的标准方程为y2329x281.(2)设所求双曲线方程为y24x23(0)由点 M(3，2)在双曲线上得4493，得 2.故所求双曲线的标准方程为x26y281.(3)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为x264y216(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 116，故所求双曲线的标准方程为x24y21；当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设
11、其方程为y264x216(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 140，b0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作 MHx 轴于 H，则MBH60，BHa，MH 3a，所以 M(2a，3a)将点 M 的坐标代入双曲线方程x2a2y2b21，得 ab，所以 e 2.故选 D.答案(1)D(2)D规律方法 求双曲线离心率的方法(1)若可求得 a，c，则直接利用 eca得解.(2)若已知 a，b，可直接利用 e1ba2得解.(3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2qacra20(p，q，r 为常数，且 p0)，则转化为关于 e 的方程 pe2qer0 求解.跟
12、踪训练3(1)设 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，则该双曲线的离心率为()A.43 B.53 C.94 D3B 考虑双曲线的对称性，不妨设 P 在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|9b24a24.又已知|PF1|PF2|94ab，94ab9b24a24，得ba43(负值舍去)该双曲线的离心率 eca1ba2143253.(2)过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，
13、交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_2 3 如图，F1，F2 为双曲线 C 的左，右焦点，将点 P 的横坐标 2a 代入x2a2y2b21 中，得 y23b2，不妨令点 P 的坐标为(2a，3b)，此时 kPF23bc2aba，得到 c(2 3)a，即双曲线 C 的离心率 eca2 3.直线与双曲线的位置关系探究问题1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点2过点(0,2)和双曲线x216y291 只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的
14、直线 已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1，(1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且AOB 的面积为2，求实数 k 的值思路探究 直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系解(1)联立方程组ykx1，x2y21，消去 y 并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则1k20，4k281k20，解得 2k 2，且 k1.若 l 与 C 有两个不同交点，实数 k 的取值范围为(2，1)(1,1)(1，2)(2)设 A(x1，y1)
15、，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得 x1x2 2k1k2，x1x221k2，|AB|1k2|x1x2|1k2 2k1k2281k21k284k21k22.又点 O(0,0)到直线 ykx1 的距离 d11k2，SAOB12|AB|d1284k21k22 2，即 2k43k20，解得 k0 或 k 62.实数 k 的值为 62 或 0.规律方法 直线与双曲线位置关系的判断方法1方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2bxc0 的形式，在 a0 的情况下考察方程的判别式(1)0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点(2)
16、0 时，直线与双曲线只有一个公共点(3)0，符合题意，所求直线 MN 的方程为 y34x54，即 3x4y50.法二 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N 均在双曲线上，x214y211，x224y221，两式相减，得x22x214y22y21，y2y1x2x1 x2x14y2y1.点 A 平分弦 MN，x1x26，y1y22.kMNy2y1x2x1 x2x14y2y134.经验证，该直线 MN 存在所求直线 MN 的方程为 y134(x3)，即 3x4y50.当 堂 达 标固 双 基1双曲线x24y291 的渐近线方程是()Ay23x By49xCy32xDy94xC 双曲线的焦点
17、在 x 轴上，且 a2，b3，因此渐近线方程为 y32x.2已知双曲线x2a2y231(a0)的离心率为 2，则 a()A2 B.62 C.52 D1D 由题意得 e a23a2，a232a，a234a2，a21，a1.3若一双曲线与椭圆 4x2y264 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236A 椭圆 4x2y264，即x216y2641，焦点为(0，4 3)，离心率为 32，则双曲线的焦点在 y 轴上，c4 3，e 23，从而 a6，b212，故所求双曲线的方程为 y23x236.4直线 ymx1 与双曲线 x2y21 有公共点，则 m 的取值范围是()【导学号：97792091】Am 2或 m 2B 2m 2且 m0CmRD 2m 2D 由ymx1x2y21，得(1m2)x22mx20，由题意知 1m20，或1m204m281m20，解得 2m 2.5求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为6的双曲线的方程解 渐近线方程为 y 33 x，设双曲线方程为 x23y2.将(3，2)代入求得 3，所以双曲线方程为 y2x231.
