1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年福建省宁德市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M=x|x23x+2=0，N=2，1，1，2，则MN=（） A 2，1 B 1，2 C 2，1 D 2，1，1，2【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可【解析】： 解：由M中方程变形得：（x1）（x2）=0，解得：x=1或x=2，即M=1，2，N=2，1，1，2，MN=1，2，故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解
2、本题的关键2（5分）若xR，则“2x1”是“1x0”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】： 根据指数函数的单调性容易判断“2x1”能否得到“1x0”，而“1x0”能否得到“2x1”，根据充分条件、必要条件的概念即可得出答案【解析】： 解：（1）若2x1=20，则x0；而x0得不到1x0；“2x1”不是“1x0”的充分条件；（2）若1x0，则2x20=1；即1x0能得到2x1；“2x1”是“1x0”的必要条件；综上得“2x1”是“1x0”的必要不充分条件故选：B【点评】： 考查指数函数的单调性
3、，函数单调性的定义，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念3（5分）某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（） A 55人，80人，45人 B 40人，100人，40人 C 60人，60人，60人 D 50人，100人，30人【考点】： 分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值【解析】：
4、解：每个个体被抽到的概率为=，专科生被抽的人数是1500=50，本科生要抽取3000=100，研究生要抽取900=30，故选：D【点评】： 本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，本题是一个基础题4（5分）经过圆（x2）2+y2=1的圆心且与直线2xy+1=0平行的直线方程是（） A 2xy4=0 B 2xy+4=0 C x+2y2=0 D x+2y+2=0【考点】： 直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】： 直线与圆【分析】： 由圆的方程求得圆心坐标，再由已知直线方程求得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案【解析】： 解：圆（x2）
5、2+y2=1的圆心坐标为（2，0），与直线2xy+1=0平行的直线的斜率为2，所求直线方程为：y0=2（x2），即2xy4=0故选：A【点评】： 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题5（5分）（2013浙江）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A 若m，n，则mn B 若m，m，则 C 若mn，m，则n D 若m，则m【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定
6、理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误【解析】： 解：A、m，n，则mn，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m，m，则，还有与可能相交，所以B不正确；C、mn，m，则n，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确D、m，则m，也可能m，也可能m=A，所以D不正确；故选C【点评】： 本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力6（5分）已知sin=，（0，），则tan2=（） A B C D 2【考点】： 二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系【专题】： 计算题；三角函数的求值【分析】： 由同角三角函数间的基本
7、关系先求cos，tan的值，由二倍角的正切函数公式即可求值【解析】： 解：sin=，（0，），cos=，tan=2，tan2=故选：A【点评】： 本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题7（5分）下列函数中，既为奇函数又在（0，+）内单调递减的是（） A f（x）=xsinx B f（x）=x C f（x）= D f（x）=x【考点】： 奇偶性与单调性的综合【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可【解析】： 解：Af（x）=xsin（x）=xsinx，为偶函数，不满足条件B函数的定义域为（0，+），函数为非奇非偶
8、函数，不满足条件Cf（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，且f（x）=为减函数，满足条件Df（x）是奇函数，在（0，+）上不是单调函数，不满足条件故选：C【点评】： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据相应的定义和性质是解决本题的关键8（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则可输入x的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 3【考点】： 伪代码【专题】： 算法和程序框图【分析】： 模拟程序运行，可得程序的功能是求y=的值，分类讨论即可得可输入x的个数【解析】： 解：模拟程序运行，可得程序的功能是求y=的值，故x0时，1=2x，解得：x=0x0时，1=x3+3x，解得：x0时该
9、函数图象与x轴有2个交点，即有2个零点，综上，可得可输入x的个数为3故选：D【点评】： 本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题9（5分）已知实数x，y满足，若不等式axy3恒成立，则实数a的取值范围为（） A （，4 B （， C ，2 D 2，4【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：若axy3恒成立即yax3恒成立，即平面区域ABC在直线y=ax3的上方即可即C（2，0）在y=ax3的上方或在直线上即可
10、，即2a3，解得a，故选：B【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，根据条件axy3恒成立，得到平面区域ABC在直线y=ax3的上方是解决本题的关键10（5分）已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为（） A 6+4 B 9+2 C 12+2 D 20+2【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形，一侧面垂直于底面的四棱锥，利用题目中的数据求出它的侧面积即可【解析】： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，一侧面PCD垂直于底面ABCD的四棱锥，如图所示；该四棱锥的侧面积为S=SP
11、CD+2SPBC+SPAB=4+232+4=2+12故选：C【点评】： 本题考查了利用几何体的三视图求几何体侧面积的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何模型，是基础题目11（5分）已知点P是ABC所在平面上一点，AB边的中点为D，若2=3+，则ABC与ABP的面积比为（） A 3 B 2 C 1 D 【考点】： 向量在几何中的应用【专题】： 综合题；平面向量及应用【分析】： 通过向量加减运算以及AB的中点为D，推出A是PC的中点，即可求出ABC与ABP的面积比【解析】： 解：2=3+，2（+）=3+，2=+，AB边的中点为D，=+，=，A是PC的中点，ABC与ABP的面积比为1故选：C【点
12、评】： 本题考查向量在几何中的应用，向量的加减法，基本知识的综合应用12（5分）已知O为坐标原点，A、B为曲线y=上的两个不同点，若=6，则直线AB与圆x2+y2=的位置关系是（） A 相交 B 相离 C 相交或相切 D 相切或相离【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 直线与圆【分析】： 根据点A，B在曲线y=上不同两点，从而设出A，B坐标：A（），而由=6可得到x1x2=4，能够写出直线AB的方程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径比较即可判断出直线和圆的位置关系【解析】： 解：设A（），；由得：，设，则：t2+t6=0，解得t=2，或t=3（舍去）；x1x2=4；直线AB的斜
13、率为k=；直线AB的方程为：；原点到该直线的距离为=；直线AB与圆的位置关系为相交故选A【点评】： 考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填写在答题卡的相应位置13（4分）复数z=i（1+2i）（i为虚数单位），则=2i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【解析】： 解：z=i（1+2i）=2+i，故答案为：2i【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础
14、题14（4分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x22x30成立的概率为【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解【解析】： 解：由题意知0x4由x22x30，解得1x3，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x22x30成立的概率为=，故答案为：【点评】： 本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法15（4分）关于x的方程|log2x|a=0的两个根为x1，x2（x1x2），则2x1+x2的最小值为2【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应
15、用【分析】： 由题意可得x1=2a，x2=2a，（a0）；从而可得2x1+x2=21a+2a；再利用基本不等式即可【解析】： 解：关于x的方程|log2x|a=0的两个根为x1，x2（x1x2），x1=2a，x2=2a，（a0）；2x1+x2=21a+2a2=2；（当且仅当21a=2a，即a=时，等号成立）；故答案为：2【点评】： 本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于基础题16（4分）已知函数f（x）=asin+cos（aR），且f（x）f（）恒成立给出下列结论：函数y=f（x）在0，上单调递增；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数；若k2），则函数
16、g（x）=kxf（2x）有且只有一个零点其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】： =a+，由f（x）f（）恒成立，可得a0，=a+，解得a，可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出单调性；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得y=，即可判断出图象的奇偶性；利用奇函数的定义可得：函数f（x）是奇函数f（0）=0若k2，当x0时，函数g（x）=kxf（2x）2x2sinx=2（xsinx）0，无零点；同理x0时，无零点，即可判断出【解析】： 解：=a+=a+，f（x）f（）恒成立，a0，=a+，解得a=
17、f（x）=，由x0，可得，函数y=f（x）在0，上单调递增，正确；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得y=，所得图象对应的函数不是偶函数，不正确；f（x）=f（x），函数f（x）是奇函数f（0）=0若k2，则当x0时，函数g（x）=kxf（2x）=kx2sinx2x2sinx=2（xsinx）0，无零点；同理x0时，无零点综上可得：函数f（x）有且只有一个零点，故正确因此只有：正确故答案为：【点评】： 本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知等比
18、数列an的前n项和Sn=2n+r（）求实数r的值和an的通项公式；（）若数列bn满足b1=1，bn+1bn=log2an+1，求bn【考点】： 数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（II）bn+1bn=log2an+1=n利用“累加求和”可得bn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解析】： 解：（）Sn=2n+r，a1=S1=2+r，a2=S2S1=2，a3=S3S2=4数列an是等比数列，即22=4（2+r），r=1数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，an=2n1（nN*）（），bn+1bn=log2an+1=n当n2时
19、，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=（n1）+（n2）+（21）+1=+1=+1又n=1符合上式，bn=+1【点评】： 本题主要考查了递推式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题18（12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为0，10），10，20），20，30），30，40），40，50（）求频率分布直
20、方图中a的值；（）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在40，50上的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，可求出直方图中的a的值；（）先求出上学所需时间的平均值，再与20比较即可得到答案；（）根据分层抽样确定30，40）和40，50）抽取的人数，列举任意抽取两人的基本事件，找出恰有一个学生的单程时间落在40，50上事件包含的基本事件，利用概率公式计算即可【解析】： 解：（）时间分组为0，10）的频
21、率为110（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，a=0.015，所以所求的频率直方图中a的值为0.015（）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：=0.155+0.615+0.225+0.0335+0.0245=16.7，因为16.720，所以该校不需要推迟5分钟上课（）依题意满足条件的单程所需时间在30，40）中的有3人，不妨设为a，b，c，单程所需时间在40，50）中的有2人，不妨设为A，B，从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（
22、c，B），（A，B）其中恰有一个学生的单程所需时间落在40，50中的有以下6种：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），故恰有一个学生的单程所需时间落在40，50中的概率P=【点评】： 本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想19（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）（0，|）在一个周期内的图象如图所示，其中M（，2），N（，0）（）求函数f（x）的解析式；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=，c=3，f（）=，求ABC的面积【考点】： 余弦定理的应
23、用；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （）由图象可求f（x）的周期T，由周期公式可得，又f（x）过点（，2），结合|，即可求得的值，从而可求函数f（x）的解析式；（）由f（）=2sin（A+）=，结合A（0，），即可求得A的值，在ABC中，由余弦定理得b23b4=0，解得b的值，由三角形面积公式即可得解【解析】： 本题满分（12分）解：（）由图象可知：函数f（x）的周期T=4（）=，（1分）=2（2分）又f（x）过点（，2），f（）=2sin（+）=2，sin（+）=1，（3分）|，+（，），+=，即=（4分）f（x）=2sin（
24、2x+）（5分）（）f（）=2sin（A+）=，即sin（A+）=，又A（0，），A+（，），A+=，即A=（7分）在ABC中，A=，a=，c=3，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA，（8分）13=b2+93b，即b23b4=0，解得b=4或b=1（舍去）（10分）SABC=bcsinA=3（12分）【点评】： 本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于中档题20（12分）如图四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABC=90，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=（）求三棱锥APCD的体积；（）问
25、：棱PB上是否存在点E，使得PD平面ACE？若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）取CD中点G，连接AG，利用已知可得：四边形AGCB为平行四边形，AGD=DCB=ABC=90，在RtAGD中，AG=BC=1，DG=CD=1，利用勾股定理与逆定理可得：PAAD利用面面垂直的性质定理可得：PA平面ABCD，利用VAPCD=VPACD=，即可得出（II）棱PB上存在点E，当=时，PD平面ACE连接BD交AC于点O，连接OE利用平行线分线段成比例定理再三角形中的应用：可得OEDP【解析】
26、： 解：（）取CD中点G，连接AG，CD=2AB，ABCD，ABGC，AB=GC，四边形AGCB为平行四边形，AGD=DCB=ABC=90，在RtAGD中，AG=BC=1，DG=CD=1，AD=，PD2=3=PA2+AD2，PAD=90，即PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PA平面ABCD，SACD=1，VAPCD=VPACD=（ II）棱PB上存在点E，当=时，PD平面ACE证明：连接BD交AC于点O，连接OEABCD，CD=2AB，=，=，又，OEDP，又OE平面ACE，PDACE，PDACE【点评】： 本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算等基础知
27、识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，属于中档题21（12分）已知点A（，0），B（，0），动点E满足直线EA与直线EB的斜率之积为（）求动点E的轨迹C的方程；（）设过点F（1，0）的直线l1与曲线C交于点P，Q，记点P到直线l2：x=2的距离为d（）求的值；（）过点F作直线l1的垂线交直线l2于点M，求证：直线OM平分线段PQ【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）直译法，利用斜率公式可求轨迹方程；（2）先设出直线l1的方程，然后带入椭圆方程，通过消元化简得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，点到直线距离公式将所求表示出
28、来，带入结论化简即可；（3）要证结论，只需分别求出直线OM的方程，PQ中点的坐标，然后证明坐标适合方程即可【解析】： 解：（）设E（x，y），依题意得，整理得，动点E的轨迹C的方程为 （）（）F（1，0），设P（x1，y1）则，=（）依题意，设直线PQ：x=my+1，Q（x2，y2），联立可得（2+m2）y2+2my1=0，显然，所以线段PQ的中点T坐标为，又因为FMl1故直线FM的方程为y=m（x1），所以点M的坐标为（2，m），所以直线OM的方程为：，因为满足方程，故OM平分线段PQ【点评】： 本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力
29、；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想22（14分）已知函数f（x）=lnxa（x1）（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若不等式f（x）0对任意x（1，+）恒成立（）求实数a的取值范围；（）试比较ea2与ae2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）【考点】： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】： （1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间1，+）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比
30、较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解【解析】： 解：（） 因为a=2时，f（x）=inx+x1，所以切点为（1，0），k=f（1）=2所以a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x2（ II）（ i）由f（x）=lnxa（x1），所以，当a0时，x（1，+），f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=0，a0不合题意当a2即时，在（1，+）上恒成立，f（x）在（1，+）上单调递减，有f（x）f（1）=0，a2满足题意若0a2即时，由f（x）0，可得，由f（x）0，可得x，f（x）在上单调递增，在上单调递减，0a2不合题意综上所述，实数a
31、的取值范围是2，+）（ ii）a2时，“比较ea2与ae2的大小”等价于“比较a2与（e2lna）的大小”设g（x）=x2（e2）lnx，（x2）则g（x）在2，+）上单调递增，因为g（e）=0当x2，e）时，g（x）0，即x2（e2）lnx，所以ex2xe2当x（e，+）时g（x）0，即x2（e2）lnx，ex2xe2综上所述，当a2，e）时，ea2ae2；当a=e时，ea2=ae2；当a（e，+）时，ea2ae2【点评】： 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想- 17 - 版权所有高考资源网
