1、10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算(重点)2.理解复数加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题(难点、易混点)通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.1复数代数形式的加、减法(1)运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.两个共轭复数的和一定是实数(2)加法运算律设z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加、减法的几何意义(1)若复数z1，z2对应的向量分别为，.复数加法的几何
2、意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数(2)|z1|z2|z1z2|z1|z2|；|z1|z2|z1z2|z1|z2|.1已知复数z134i，z234i，则z1z2()A8iB6C68iD68iBz1z234i34i(33)(44)i6.2在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3i，13i，则对应的复数是()A24iB24iC42iD42iD依题意有，而(3i)(13i)42i，即对应的复数为42i.故选D.3已知向量1对应的复数为23i，向量2对应的复数为3
3、4i，则向量对应的复数为_1i21(34i)(23i)1i.4已知z134i，z243i，则(z1z2)(12)_.2iz1z234i43i7i，1234i43i7i，(z1z2)(12)7i(7i)2i.复数的加减法运算【例1】(1)(2i)_.(2)已知复数z满足z13i52i，求z.(3)已知复数z满足|z|z13i，求z.(1)1i(2i)i1i.(2)解法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.(3)解设zxyi(x，yR)，则|z|，又|z|z
4、13i，所以xyi13i，由复数相等得解得所以z43i.复数加、减法运算方法1复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设zabi(a，bR)1计算：(1)(35i)(34i)_.(2)(32i)(45i)_.(3)(56i)(22i)(33i)_.(1)6i(2)77i(3)11i(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)(25)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)(623)i11i.复数加减法
5、的几何意义【例2】(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是13i，i,2i，则点D对应的复数为_(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.思路探究(1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量D列方程求解(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决(1)35i设D(x，y)，类比向量的运算知AD，所以有复数i(13i)2i(xyi)，得x3，y5，所以D对应的复数为35i.(2)解设复数z1，z2，z1z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|z2|1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，
6、在OZ1Z 中，由余弦定理，得cosOZ1Z，所以OZ1Z120，所以Z1OZ260，因此OZ1Z2是正三角形，所以|z1z2|Z2Z1|1.若把本例(2)中的条件“|z1z2|”改为“|z1z2|1”，则|z1z2|等于多少？解设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|z2|1，|z1z2|1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1z2|2|z1|2|z2|22|z1|z2|cosOZ1Z，因为Z1OZ260，所以OZ1Z120，所以|z1z2|.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1技巧
7、(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形复数加减法的几何意义的应用探究问题1在实数范围内ab0ab恒成立，在复数范围内是否有z1z20z1z2恒成立呢？提示：若z1，z2R，则z1z2
8、0z1z2成立否则z1z20D/z1z2.如果z11i，z2i，虽然z1z210，但不能说1i大于i.2复数|z1z2|的几何意义是什么？提示：复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离【例3】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,53i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，求|.思路探究首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标解如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z34i，所以34i214i，所以|.1解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借
9、助复数相等即可求解2复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题2已知zC，且|z34i|1，求|z|的最大值与最小值解由于|z34i|z(34i)|1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数34i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(3,4)为圆心，半径等于1的圆而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|5，所以点Z到原点O的最大距离为516，最小距离为514.即|z|最大值6，|z|最小值4.1复数的加减法中规定，两复数相加减，
10、是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形2两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数3根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和4求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数与向量一一对应()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()答案(1)(2)(3)2复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCiDiA(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选A3若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2B4C3D4Bz1(34i)24i，故选B.4实部为5，模与复数43i的模相等的复数的个数为_个1依题意设z5bi，则|z|，而|43i|5，所以5，即b0.5在复平面内，点A，B，C分别对应复数z11i，z25i，z333i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长解如图，由复数加减法的几何意义，知，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i，|AD|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.
