1、江西省宜春市第九中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文考试时间：120分钟 试卷总分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知曲线C的方程为，则下列各点中，在曲线C上的点是A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 全称命题“”的否定是A. B. C. D. 4. 已知点，若直线l过点与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心为M，设A为圆上任一
2、点，点N的坐标为，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆7. 过点作圆的切线，则切线方程为 A. B. C. 或D. 或8. 已知两点，若点P是圆上的动点，则面积的最小值为 A. 6B. C. 8D. 9. 以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为 A. B. C. D. 10. 若椭圆与直线交于两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则A. B. C. D. 211. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为A. B. 2C. D. 412. 在平面直角坐标系xOy中，已知F是抛物线的焦点，过点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物
3、线交于点A，B和C，D，记AB的中点为M，CD的中点为N，则的最小值是 A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线和直线垂直，则实数a的值为_14. 已知命题p：，使；命题q：，都有给出下列结论：命题“”是真命题；命题“”是假命题；命题“”是真命题；命题“”是假命题；其中正确的序号是_15. 椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_16. 已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合，且若是的充分条
4、件，求实数a的取值范围；若命题“”为真命题，求实数a的取值范围18. 已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且经过点求双曲线C的方程；求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离19. 已知直线与直线的交点为M求过点M且到点的距离为2的直线l的方程；求过点M且与直线平行的直线l的方程20. 已知圆，其中如果圆C与圆外切，求m的值；如果直线与圆C相交所得的弦长为，求m的值21. 已知椭圆C：的离心率为，其左焦点到点的距离为，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点(1) 求椭圆C的方程；求的面积22. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线C上一点到焦点F的距离为求抛物线C
5、的标准方程；设点，过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点记直线MA与直线MB的斜率分别为，证明：为定值宜春九中（外国语学校）20202021学年上学期期中考试高二年级数学卷答案和解析【答案】1. A2. B3. B4. C5. B6. D7. C8. B9. B10. D11. B12. C13.14. 15. 2016. 217. 解：由是的充分条件，得，所以，解得所以实数a的取值范围为命题“”为真命题，或，解得或又所以实数a的取值范围为：或18. 解：双曲线C与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为，代入得，故双曲线的方程为：由方程得，故离心率其渐近线方程为；焦点坐标，解得到渐近线的距离为
6、：，即19. 解：由题意，由解得，直线的交点M为，根据题意，所求直线的斜率一定存在，设所求直线方程为，即，到直线的距离为2，解得或，所求直线的方程为或；易知过点且与平行的直线的斜率为：，所求的直线方程为：，即20. 解：圆C的圆心为，半径因为圆C与圆外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，解得圆C的圆心到直线的距离因为直线与圆C相交所得的弦长为，所以，解得21. 解：设椭圆左焦点为，则由题意得，解得，则，所以椭圆方程为设，由及得，所以直线l为，由得：因为点到直线l的距离为所以22. 解：由题意，可设抛物线C：，焦点，则，解得，因此，抛物线C的标准方程为；证明：设过点的直线l：，设点、，联立，消
7、去x，得，由韦达定理可得，因此，为定值【解析】1. 【分析】本题考查曲线与方程的对应关系，满足方程的解的实数对，对应的点在曲线上直接把点的坐标代入方程，满足方程的点，在曲线上，否则不在曲线上【解答】解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程，只有满足方程，所以在曲线上故选A2. 解：，解得或；当或时，使得不成立；当时，使得或成立；是的必要不充分条件故选：B先求出不等式的解集，在根据充分必要条件的定义判断即可本题充分考查了充分必要条件，考查不等式解法，属于基础题3. 【分析】本题考查命题的否定，属于基础题根据题意利用否命题的定义即可得到结果【解答】解“”的否定是“” 故选B4. 【分析】本题考查了
8、直线的倾斜角与斜率和数形结合思想由已知条件结合图形，通过观察直线倾斜角的变化，利用倾斜角与斜率间的关系得到斜率的变化情况，一般斜率的范围与过线段端点的直线的斜率有直接关系【解答】解：直线PA的斜率，直线PB的斜率，结合图象如下：可得直线l的斜率k的取值范围是或故选C5. 【分析】本题考查了直线的斜率、截距的意义，属于基础题由方程看到：的斜率与的截距相同，的截距与的斜率相同，结合选项可得结果【解答】解：直线：和直线：分别化为：，：由方程看到：的斜率与的截距相同，的截距与的斜率相同据此可判断出：只有B满足上述条件故选B6. 解：圆的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为，线段AN的垂直平分线交M
9、A于点P，是AN的垂直平分线上的一点，又，所以点P满足，即P点满足椭圆的定义，焦点是，半长轴，故P点轨迹方程式故选：D推导出P是AN的垂直平分线上的一点，且，由，得到点P满足，从而得到动点P的轨迹是焦点为，半长轴的椭圆本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆、直线方程、垂直平分线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题7. 【分析】本题考查直线与圆的位置关系及圆的切线方程的问题，考查点到直线的距离公式，属于中档题将切线的斜率分为存在与不存在两种情况讨论，借助点到直线的距离公式即可求解【解答】解：圆的圆心为，半径为1当过点P的切线垂直于x轴时，切线斜
10、率不存在，方程为，因为圆心到直线的距离为，所以直线符合题意；当过点P的切线不垂直于x轴时，设切线方程为，即由点到直线的距离公式得：，解得此时切线方程为：，即综上所述，切线方程为或故选C8. 【分析】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题求出圆心到直线AB的距离d，即可得出圆上的点到直线AB的最小距离为，再利用三角形的面积计算公式面积的最小值即可得出【解答】解：圆，即，令圆心为，半径为1，如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时的面积最小直线AB的方程为，即，圆心C到直线AB的距离为，所以P到直线AB的最小值为，因为，的面积的最小值
11、为故选B9. 解：圆：与圆：，方程相减得圆与圆的公共弦所在直线的方程：与圆：联立，可得圆，公共弦为直径的圆的圆心坐标为，故选：B两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，确定公共弦为直径的圆的圆心坐标，即可得出结论此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键10. 【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时可以利用“点差法”，考查运算能力，属于中档题设，可得直线OM和AB的斜率，A，B在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法和中点坐标公式，化简整理即可得到所求值【解答】解：设，AB中点为，由AB的中点为M可得，由A，B在椭圆上，可得，两式相减可得
12、，把代入可得：，整理可得故选D11. 略12. 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，中点坐标公式，属于中档题联立直线AB与抛物线的方程，求出M的坐标，同理求出N的坐标，再利用平面向量的数量积以及基本不等式求出最小值即可【解答】解：设点，焦点，由题意，直线，的斜率都存在且不为0，可设直线AB的方程为，把直线AB：代入，得，可知：，同理可得，当且仅当时取等号所以的最小值是5，故选C13. 【分析】本题考查两直线垂直的应用，属于基础题目由两直线垂直得出关系式求出a的值即可【解答】解：由题意可得，解得故答案为14. 【分析】本题考查复合命题的真假判断，首先判断p，q的真假，利用复合命题的真假判断即
13、可求解【解答】解：命题p：，使，错误，命题q：，都有正确故正确15. 【分析】由椭圆性质列出方程组，求出a，再由椭圆定义得的周长为4a，由此能求出结果本题考查三角形周长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆定义及性质的合理运用【解答】解：椭圆的左右焦点为，离心率为，解得，过的直线交椭圆于A、B两点，的周长为故答案为：2016. 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可【解答】解：F为双曲线C：的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴所以，若AB的斜率为3，可得
14、：，代入上式化简可得，可得，解得故答案为：217. 本题考查了集合之间的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题由是的充分条件，根据，即可得出由命题“”为真命题，可得，或，即可得出18.由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离本题考查双曲线的方程及简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题19. 本题考查了直线方程的求法，涉及两直线交点坐标求法，点到直线距离公式运用，两直线平行斜率关系，考查了运算求解能力，属于中档题先将直线联立，求出点M坐标，然后设出所求直线
15、方程，运用点到直线距离公式建立关于k的方程求解即可；先根据直线平行的关系得到所求直线的斜率，然后用点斜式写出所求直线方程即可求解20. 本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，弦长公式，考查转化思想，属于中档题化简求得圆心及半径，由圆C与圆相外切，则两圆的圆心距等于其半径和，即可求得m的值；利用点到直线的距离公式求得C到直线的距离，根据弦长公式即可求得m的值21. 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力属于中档题运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a，c的值，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；根据垂直直线斜率间的关系，求出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积22.设抛物线C的标准方程为，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程；设直线ll的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出的值，从而证明结论成立本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题的应用，解决本题的关键在于灵活使用相应公式，考查计算能力，属于中等题