1、5.4.3 平均不等式自主整理1.两个正数a、b,则_(当且仅当a=b时取“=”).2.a、b、cR+,则_(当且仅当a=b=c时取“=”).3.a1,a2,anR+,_(当且仅当a1=a2=an时取“=”).4.称为这n个正数的_,称为这n个正数的_.不等式_称为算术几何平均不等式,即n个正数的算术平均不小于它们的几何平均.高手笔记1.平均不等式的使用前提是正数,在使用时一定要考查是否具备前提条件.2.在使用平均不等式求函数的最值时,需考查“三条”,即“一正,二定,三相等”,这三者缺一不可,否则求出的不是函数的最值. “一正”是必不可少的,例如a=b=-2,c=2时,a+b+c=-2,而3=
2、6,显然3不成立了. “二定”包含两类最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+an为定值),求其积a1a2an的最大值;二是已知乘积a1a2an为定值,求其和a1+a2+an的最小值. “三相等”,等号成立的条件是a1=a2=a3=an都相等才能取“=”,否则取不到等号.名师解惑使用算术几何平均不等式时有哪些常用的技巧?剖析:在利用算术几何平均不等式求函数的最值(或范围)时,往往需要对代数式变形或拼凑,有时一个数需要拆分成两个或两个以上的数,这时候,拆成的数要相等.如y=+x= ,其中把x拆成+两个数的和,而不是把拆成+,否则乘积不为定值,也不是把x拆成,否则等号取不到.也就是得到
3、的乘积为定值或和为定值,这样通过“一正,二定,三相等”求出最值.讲练互动【例1】已知a0,b0,且a+b=1,求证:(1+)(1+)9.分析:本题可将“1”代换成a+b进行变形,再由平均不等式证出.证明:方法一:a0,b0,a+b=1,(1+)(1+)=(1+)(1+)=(1+1+)(1+1+)=9.方法二:a0,b0,a+b=1,(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=4+2(+)+1=5+2(+)5+22=9.方法三:a0,b0,a+b=1,2a+b=1.0ab.4.又+24,(1+)(1+)=1+(+)+1+4+4=9.绿色通道 根据已知条件,本题可拆为三个数的平均不等式,
4、也可转化为两个数的平均不等式进行推理论证.注意已知条件的使用,可代入,也可把平均不等式变形.变式训练1.已知a、b、cR+,且a+b+c=1,求证:+9.证法一:a、b、cR+,且a+b+c=1,+=+=1+1+1+=(+)+(+)+(+)+32+2+2+3=9成立.证法二:a、b、cR+,且a+b+c=1.+=+=3+(+)3+=9成立.证法三:a、b、cR+,且a+b+c=1,3.+33=9.【例2】已知a、b、c是互不相等的正数,且abc=1,求证:2.同理+,+.+2+2+2,即2=2=2.同理,ac+ab2,ab+bc2.2(ab+bc+ac)2+2+2.ab+bc+ac+.+.绿色
5、通道 用平均不等式证明可适当进行不等式的变形.变式训练2.已知x、y都是正数,且x+2y=1,求证:3+.证明:x、y都是正数,且x+2y=1,+=(x+2y)(+)=1+3+=3+,即+3+.【例3】已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,求证:a1x1+a2x2+anxn1.分析:由aixi可知需将两式组合证明.证明:a1x1+a2x2+anxn=+=1.绿色通道 证明不等式时要注意不等式的结构,灵活地进行变换.变式训练3.证明a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.证明:ab+bc+cd+da=a2+b2+c2+d2成立.a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.
