1、章末复习提升课平面向量的有关概念给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.其中正确命题的个数为()A1B2C3 D0【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0时，则a与c不一定平行【答案】D对于向量的概念应注意三点(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以
2、用坐标表示(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小 1判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选A.只有正确2设a0 为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0 平行，则a|a|a0；若a与a0 平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0 的模相
3、同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0 平行，则a与a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算平面上有A(2，1)，B(1，4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC并延长至E，使|，则点E的坐标为_【解析】因为，所以()所以2(3，6)，所以点C坐标为(3，6)由|，且E在DC的延长线上，所以.设E(x，y)，则(x3，y6)(4x，3y)，得解得即E.【答案】(，7)(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即.向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形
4、，则同起点对角线的向量即为向量的和加法满足交换律、结合律(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换 如图所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：设，则m(m1).因为与共线，所以(m1)0，所以m.答案：共线向量基本定理的应用已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，则t_【解析】因为a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同所以atb与a(ab)共线即atb与ab共线所以存在实数，使atb，所以解得，t，即
5、t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上【答案】 已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，则A，B，C三点共线的等价条件为()A2B1 C1 D1解析：选D.因为A、B、C三点共线，所以，设m(m0)，所以所以1，故选D.平面向量基本定理的应用如图在AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点设a，b.(1)用a，b表示；(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设p，q，求的值【解】(1)设xayb，则(x1)y(x1)ayb，ab，因为A，M，D三点共线，所以，共线，从而(x1)y，又C，M，B三点共线，所以，共线，同理可得(y1)x，联立
6、，解得，故ab.(2)因为abpa(p)ab.qbpa.因为，共线，所以(p)qp，整理得5.平面向量基本定理的应用运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 在ABC中，过点D作DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示设a，b，试用基底a，b表示.解：因为M为BC的中点，所以()(ba)，()(ab)因为DNBM，AN与AM共线，所以存在实数，使得(ba)，(ab)ab.因为a(ba)()ab，所以根据平面向量基本定理，得解得所以(ba)ab.平面向量线性运算的应用如图，点O是平行四
7、边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上【证明】设m，n.由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，所以m(mn)mn.(mn)mmn，所以.又O为和的公共点，所以点E，O，F在同一直线上向量的线性运算解决几何、物理中的实际问题关键是把所涉及的量用向量形式表达出来，通过向量的线性运算，最后再返回到几何、物理问题本身 如图，已知河水自西向东流速为|v0|1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.(1)若此人朝正南方向游去，且|v1| m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角和v2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2
8、| m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角和v1的大小解：设v0，v1，v2则由题意知v2v0v1，|1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|AC，如图所示，则在直角OAC中，|v2|OC2，tanAOC，又AOC(0，)，所以.(2)由题意知OCB，且|v2|，BC1，如图所示，则在RtOBC中，|v1|OB2，tanBOC，又AOC(0，)，所以BOC，则.1设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A.B.C. D.解析：选A.()()()，故选A.2(2019龙岩模拟) 如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.A BC D解析：选C.根据向量的加法法则，得ab，故正确；根据向量的减法法则，得ab，故错误；ab2bab，故正确；abbab，故错误故选C.3设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是()A|a|b|且ab BabCab Da2b解析：选D.因为表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，所以a与b必须方向相同才能满足.故选D.4在ABC中， 点D和E分别在BC，AC上， 且， AD与BE交于R, 证明.证明：由A、D、R三点共线，可得(1)(1).由B、E、R三点共线，可得(1).所以，1，解得，所以，所以，()().
