1、选修42矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)186188页)考情分析考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题.1. (选修42P34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标解：矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A(2，0)2. 点(1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(2，
2、4)，求m、k的值解：， 解得3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y2x上的变换，求它所对应的矩阵解：将平面内图形投影到直线y2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有，解得 T.4. 求曲线y在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程解：设点(x，y)是曲线y上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x，y)，则，所以.因为点(x，y)在曲线y上，所以x，即x.5. 求直线xy5在矩阵 对应的变换作用下得到的图形解：设点(x，y)是直线xy5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x，y)，则，所以.因为点(x，y)在直线xy5上，所以yxy5，故得到的图形是点(0
3、，5)1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)(x，y)或T：.一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为(a、b、c、dR)的矩阵形式，反之亦然2. 几种常见的平面变换(1) 当M时，则对应的变换是恒等变换(2) 由矩阵M或M(k0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称(4) 当M时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转角度(5) 将一个平面图投影到某条直线(
4、或某个点)的变换称为投影变换(6) 由矩阵M或确定的变换称为切变变换3. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下，ABBA，即矩阵的乘法不满足交换律(2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)(3) 矩阵的乘法不满足消去律备课札记题型1求变换前后的曲线方程例1设椭圆F：1在(x，y)(x，y)(x2y，y)对应的变换下变换成另一个图形F，试求F的解析式解：变换矩阵为，任取椭圆上一点(x0，y0)，则，令则又点(x0，y0)在椭圆F上，故1，所以2x28xy9y240，即F的解析式为2x28xy9y240.设M，N，试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的曲线方程解：MN，设(x，y)是曲
5、线ysinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x，y)则，所以即代入ysinx得ysin2x，即y2sin2x.即曲线ysinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y2sin2x.已知矩阵M，N，矩阵MN对应的变换把曲线ysinx变为曲线C，求曲线C的方程解： MN， 设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线ysinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有，即所以又点P(x0，y0)在曲线ysinx上，故y0sinx0，从而ysinx.所求曲线C的方程为ysinx. 题型2根据变换前后的曲线方程求矩阵例2二阶矩阵M对应变换将(1，1)与(2，1)分别变换成(5，7)与(3
6、，6)(1) 求矩阵M；(2) 若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l：11x3y680，求直线l的方程解：(1) 不妨设M，则由题意得，所以故M.(2) 取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x，y)，则，即代入11x3y680，得xy40，即l的方程为xy40.在平面直角坐标系xOy中，直线l：xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求实数a、b的值解：(解法1)在直线l：xy20上取两点A(2，0)，B(0，2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A、B，因为，所以A的坐标为(2，2b)；，所以B的坐标为(2a，8)由题意A、B在直线m：xy4
7、0上，所以解得a2，b3.(解法2)设直线l：xy20上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x，y)因为，所以xxay，ybx4y.因为(x，y)在直线m上，所以(xay)(bx4y)40，即(1b)x(a4)y40.又点(x，y)在直线xy20上，所以，解得a2，b3.题型3平面变换的综合应用例3已知M，N，向量.(1) 验证：(MN)M(N)；(2) 验证这两个矩阵不满足MNNM.解：(1) 因为MN，所以(MN).因为N，所以M(N)，所以(MN)M(N)(2) 因为MN，NM，所以这两个矩阵不满足MNNM.在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A，B，C.求ABC在矩阵
8、作用下变换所得到的图形的面积解：因为，所以A，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A，B，C.故SABCAC|yB|.1. 在直角坐标系中，OAB的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M，N.解：由题设得MN， ，.可知O、A、B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O(0，0)、A(2，0)、B(2，1)可得OAB的面积为1.2. 已知矩阵M，N，在平面直角坐标系中，设直线2xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程解：由题设得MN.设(x，y)是直线2xy10上任意一点，点(x，y)在矩阵
9、MN对应的变换作用下变为(x，y)，则有，即，所以因为点(x，y)在直线2xy10上，从而2x(y)10，即2xy10.所以曲线F的方程为2xy10.3. (2013福建)已知直线l：axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1) 求实数a、b的值；(2) 若点P(x0，y0)在直线l上，且A，求点P的坐标解：(1) 设直线l：axy1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M(x，y)，由，得又点M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依题意解得(2) 由A，得解得y00.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01，故点P的坐标为(1，0)4. 在线性变
10、换下，直线xyk(k为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标解：由，得而xyk，所以(k为常数)，所以直线xyk(k为常数)上的所有点都变为一个点(k，2k)1. 如图所示，四边形ABCD和四边形ABCD分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(1，2)、B(3，2)、C(3，2)、D(1，2)、B(3，7)、C(3，3)求将四边形ABCD变成四边形ABCD的变换矩阵M.解：该变换为切变变换设矩阵M，由图知，CC，则.所以3k23，解得k.所以，M.2. 已知矩阵M，向量，.(1) 求向量3在TM作用下的象；(2) 求向量4M5M.解：(1) 因为33，所以M.(2) 4M5MM(45
11、).3. 二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：2xy4，求l的方程解：设M，则有， ，且，解得和 ， M， ，且m：2xy4， 2(x2y)(3x4y)4，即x4 0， 直线l的方程为x4 0.4. 二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1) 求矩阵M；(2) 设直线l在变换M作用下得到了直线m：xy4，求l的方程解：(1) 设M，则有，所以且解得所以M.(2) 因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，即直线l的方程为xy20.几种特殊的变换：反射变换
12、：M：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于x轴对称；M：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于y轴对称；M：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于原点对称；M：点的变换为(x，y)(y，x)，变换前后关于直线yx对称投影变换：M：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为(x，y)(x，0)；M：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为(x，y)(0，y)；M：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上，点的变换为(x，y)(x，x)；M：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上，点的变换为(x，y)(y，y)；M：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上，点的变换为(x，y).
