1、高考资源网（） 您身边的高考专家44幂函数考点学习目标核心素养幂函数的概念了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式数学抽象幂函数的性质结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图像，掌握它们的性质数学运算幂函数性质的应用能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小数学运算 问题导学预习教材P33P36的内容，思考以下问题：1幂函数是如何定义的？2幂函数的解析式具有什么特点？3常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？1一般地，函数yx称为幂函数，其中为常数名师点拨 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量2幂函数的图像与性质(1)五个常见幂函数的图像(2)五个常见幂函数的性质：函数性质 yxyxyx2
2、yx3yx1定义域R0，)RR(，0)(0，)值域R0，)(0，)R(，0)(0，)奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性R上增0，) 上增(，0)上减0，)上增R上增(，0)上减(0，)上减公共点(1，1) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx是幂函数()(2)函数y2x是幂函数()(3)幂函数的图像都不过第二、四象限()答案：(1)(2)(3) 下列所给函数中，是幂函数的是()Ayx3 By3xCyx Dyx21解析：选C.幂函数的形式为yx，只有C符合 下列函数中，在(，0)上是增函数的是()Ayx3 Byx2Cy Dyx解析：选A.结合函数图像，易知yx3在(，0)上为增函数，故
3、选A. 已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)_解析：设f(x)x，所以，所以f(4)42.答案：2幂函数的概念函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式【解】根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合要求所以f(x)的解析式为f(x)x3.(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系，导致解题受阻(2)幂函数yx(R)中，为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标
4、准幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错 已知幂函数f(x)x的图像经过点(9，3)，则f(100)_解析：由题意可知f(9)3，即93，所以，所以f(x)x，所以f(100)10010.答案：10幂函数的图像如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图像，已知n取2，四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A2，2B2，2C，2，2，D2，2，【解析】考虑幂函数在第一象限内的增减性注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0时看|n|的大小根据幂函数yxn的性质，故c1的n2，c2的n，当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n，曲线
5、c4的n2，故选B.【答案】B幂函数图像的特征(1)在第一象限内，直线x1的右侧，yx的图像由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1的左侧，yx的图像由上到下，指数由小变大(2)当0时，幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当01时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当0时，幂函数的图像都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线下凸 如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图像，则()A1n0m1Bn1，0m1C1n0，m1Dn1，m1解析：选B.在(0，1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图像有交点，如图所示根据点低指数大，所以0m1，n1.比较幂的大小比较下列各组数中两个
6、数的大小：(1)与；(2)与；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.【解】(1)因为yx是0，)上的增函数，且，所以.(2)因为yx1是(，0)上的减函数，且，所以.(3)0.252，6.252.5，因为yx是0，)上的增函数，且22.5，所以22.5，即0.256.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，又y0.3x是减函数，所以0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.(1)比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数不同而底数相同，则构造指数函数(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化
7、为相同，是否可以引入中间量 比较下列各组数的大小：(1)与；(2)3.143与3；(3)与.解：(1)因为yx0.5在0，)上是增函数且，所以.(2)因为yx3是R上的增函数，且3.14，所以3.1433，所以3.1433.(3)因为y是减函数，所以.yx是0，)上的增函数，所以.所以.1下列函数是幂函数的是()Ay5x Byx5Cy5x Dy(x1)3解析：选B.函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()Ayx ByxCyx Dyx解析：选D.yx，其定义
8、域为R，值域为0，)，故定义域与值域不同3设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A1，3 B1，1C1，3 D1，1，3解析：选A.可知当1，1，3时，yx为奇函数，又因为yx的定义域为R，则1，3.4若a，b，c(2)3，则a、b、c的大小关系为_解析：因为yx在(0，)上为增函数所以，即ab0.而c(2)3230，所以abc.答案：abc5已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图像关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为_解析：由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意答案：1A基础达标1在函数y，yx2，y2x，y1
9、，y2x2，yx中，是幂函数的是()A BC D解析：选C.幂函数是形如yx(R，为常数)的函数，是1的情形，是2的情形，是的情形，所以都是幂函数；是指数函数，不是幂函数；是常数函数，不是幂函数；中x2的系数是2，所以不是幂函数所以只有是幂函数2已知幂函数f(x)kx(kR，R)的图像过点，则k()A. B1C. D2解析：选A.因为幂函数f(x)kx(kR，R)的图像过点，所以k1，f，即，所以k.3下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dyx解析：选A.所给选项都是幂函数，其中yx2和yx2是偶函数，yx1和yx不是偶函数，故排除选项B、
10、D，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区间(0，)上单调递减，符合题意，故选A.4函数yx1的图像关于x轴对称的图像大致是()解析：选B.yx的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数yx1的图像可看作由yx的图像向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将yx1的图像关于x轴对称后即为选项B.5如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图像，则下列结论正确的是()Anm0 Bmnm0 Dmn0解析：选A.由图像可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0.当x2时，2m2n，所以nm0.6若yaxa2是幂函数，则该函数的值域是_解析：由已
11、知yaxa2是幂函数，得a1，所以yx，所以y0，故该函数的值域为0，)答案：0，)7已知幂函数f(x)x的部分对应值如表：x1f(x)1则f(x)的单调递增区间是_解析：因为f，所以，即，所以f(x)x的单调递增区间是0，)答案：0，)8设，则使f(x)x为奇函数且在(0，)上单调递减的的值是_解析：因为f(x)x为奇函数，所以1，1，3.又因为f(x)在(0，)上为减函数，所以1.答案：19已知函数f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则所以m1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则
12、所以m1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m22m1，所以m1.10比较下列各组数的大小(1)3和3.2；(2)和；(3)4.1和3.8.解：(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.2，所以33.2.(2)，函数yx在(0，)上为增函数，而，所以.(3)因为4.111，03.811，所以4.13.8. B能力提升11已知函数f(x)(a2a1)x为幂函数，则实数a的值为()A1或2 B2或1C1 D1解析：选C.因为f(x)(a2a1)x为幂函数，所以a2a11，即a2或1.又a20，所以a1.12下列结论中，正确的是()A幂函数的图像都经过点(0，0)，(1，1)B幂函数的图像可以出现在
13、第四象限C当幂指数取1，3，时，幂函数yx是增函数D当1时，幂函数yx在其整个定义域上是减函数解析：选C.当幂指数1时，幂函数yx1的图像不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且yx(R)0，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故B错误；当0时，yx是增函数，故C正确；当1时，yx1在区间(，0)，(0，)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误故选C.13已知函数f(x)yx在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数，那么最小的正整数_解析：取值验证当1时，yx0，不满足；当2时，yx在(0，)上是减函数因为它为奇函数，则在(，0)上也是减函数，不满足；当
14、3时，yx满足题意答案：314已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当x1，2时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若ABA，求实数k的取值范围解：(1)依题意，得(m1)21，解得m0或m2.当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m0.(2)由(1)可知f(x)x2.当x1，2时，f(x)，g(x)单调递增，所以A1，4，B2k，4k因为ABA，所以BA，所以0k1.所以实数k的取值范围是0，1 C拓展探究15已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)m2mm(m1)，mN，而m与m1中必有一个为偶数，所以m(m1)为偶数所以函数f(x)x(m2m)1(mN)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)因为函数f(x)经过点(2，)，所以2(m2m)1，即22(m2m)1.所以m2m2.解得m1或m2.又因为mN，所以m1.由f(2a)f(a1)得解得1a.所以实数a的取值范围为.- 11 - 版权所有高考资源网
