1、第三章3.13.1.33.1.4A级基础巩固一、选择题1长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则(C)AijkBijkC3i2j5kD3i2j5k解析3i2j5k.2设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则(ab)c(ca)b0；|a|b|0，cosCBDcos，0，CBD为锐角，同理，BCD与BDC均为锐角，BCD为锐角三角形5已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为(B)A30B45C60D135解析ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cosa，b.0a，b180，a，b45.6已知a、b均为单位
2、向量，它们的夹角为60，那么|a3b|(C)ABCD4解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b2|a|26|a|b|cos9|b|2，|a|b|1，a，b60，|a3b|213，|a3b|.二、填空题7若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x、y、z使得xaybzc0，则x、y、z满足的条件是_xyz0_.解析若x0，则abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间向量的一个基底知a、b、c不共面，故x0，同理yz0.8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则_a2_.解析|cos，aacos60a2.三、解答题9如图，设四面体OABC的三条棱a，b，c，G为ACB的重心，以a，b，c
3、为空间基底表示向量，.解析由G为ACB的重心易知E为AC的中点，()()()(ab)(cb)(ac2b)，bb(ac2b)(abc)10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求与所成角的余弦值解析设正方体的棱长为1，a，b，c，则|a|b|c|1，abbcca0.ab，ca，(ab)(ca)acbca2aba2.又|，|，cos，与所成角的余弦值为.B级素养提升一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中正确命题的个数是(B)A1个B2个C3个D0个解析 根据数量积的定义知：正确，与的夹角为120，不正确，故
4、选B2正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是(C)A2BCD解析如图所示，设a，b，c.由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因为abc，所以|2a2b2c22(abbcac)2222222()22cos6011415，所以|EF|.3已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是(A)A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10)D(4,3,2)解析8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k.4在棱长为a的正方体ABCDA
5、1B1C1D1中，向量与向量所成的角为(D)A60B150C90D120解析由条件知，|a，|a，()()|2|2a2，cos，.向量与所成的角为120，故选D二、填空题5三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC中点，以，为基底，则的坐标为_(，0，)_.解析()()，即.6已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设a，b，c，则(1)_1_；cos，_；(2)_1_.解析(1)(abc)(abc)a2c22acb21，|2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3，|，|2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3，|，cos，.(2)(bc
6、a)b|b|2bcba1.三、解答题7如图所示，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解析利用图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示如图所示，连接BO，则()(cba)abc.()abc.()ac(cb)abc.a.8如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.(1)求证：CC1BD；(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明证明(1)设a，b，c，依题意|a|b|，设，中两两夹角为，于是ab，c(ab)cacb|c|a|cos|c|b|cos0，CC1BD.(2)当1时，能使A1C平面C1BD.证明如下：若A1C平面C1BD，则必有A1CBD，A1CDC1.连接AC，易证得BD平面A1AC，则有BDA1C，令()()(abc)(ac)|a|2acabbcca|c|2|a|2|c|2|b|a|cos|b|c|cos(|a|c|)(|a|c|b|cos)0，得当|c|a|时，A1CDC1，当1时，A1C平面C1BD.