1、导数大题 （解析）一、解答题1(2021年高考全国甲卷理科)已知且，函数(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）解析：（1）当时，,令得,当时，,当时，,函数在上单调递增；上单调递减；（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导
2、数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解2(2021年高考全国乙卷理科)设函数，已知是函数的极值点(1)求a；(2)设函数证明:【答案】；证明见详解解析：（1）由，又是函数的极值点，所以，解得；（2）由（1）得，且，当时，要证，即证，化简得；同理，当时，要证，即证，化简得；令，再令，则，令，当时，单减，假设能取到，则，故；当时，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题3(2020年高考数学
3、课标卷理科)已知函数(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x3+1，求a的取值范围【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增（2）【解析】(1)当时，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增(2)由得，其中，当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；当时，分离参数a得，记，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何
4、意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用4(2020年高考数学课标卷理科)已知函数f(x)=sin2xsin2x(1)讨论f(x)在区间(0，)的单调性；(2)证明：；(3)设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增（2）证明见解析；（3）证明见解析解析：(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增(2)注意到，故函数是
5、周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，据此可得：，即(3)结合(2)的结论有：【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用5(2020年高考数学课标卷理科)设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直(1)求b(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1【答案】（1）；（2
6、）证明见解析解析：（1）因为，由题意，即则；（2）由（1）可得，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1零点，则或，即或当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题6(2019年高
7、考数学课标卷理科)已知函数(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由【答案】(1)见详解；(2)或【官方解析】(1) 令，得或若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若时，在单调递增；若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的存在()当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为此时满足题设条件当且仅当，即()当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为此时满足题设条件当且仅当，即 ()当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或若，则，与矛盾若，则或或，与矛盾综上，当且仅
8、当或，在最小值为，最大值为1【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，计算量略大7(2019年高考数学课标全国卷理科)已知函数讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线【答案】函数在和上是单调增函数，证明见解析；证明见解析.【官方解析】的定义域为.因为，所以在和上是单调递增.因为，所以在有唯一零点，即又，故在有唯一零点综上，有且仅有两个零点因为，故点在曲线上由题设知，即，故直线的斜率曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的
9、切线【分析】对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【解析】函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，所以在处的切线的斜率为
10、，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.8(2019年高考数学课标全国卷理科)已知函数，为的导数证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点【答案】解：（1）设，则，当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为则当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点（2）的定义域为（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，故在单调递
11、减，又，从而是在的唯一零点（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所以存在，使得，且当时，；当时，故在单调递增，在单调递减又，所以当时，从而在没有零点（iii）当时，所以在单调递减而，所以在有唯一零点（iv）当时，所以0，从而在没有零点综上，有且仅有2个零点9(2018年高考数学课标卷（理）)已知函数(1)若，证明：当时，当时，；(2)若是的极大值点，求【答案】【官方解析】当时，设函数，则当时，；当时，故当时，所以在上单调递增又，故当时，；当时，（2）（i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾（ii）若，设函数由于当时，故与符号相同又，故是的极大值点，当且仅当是的极大值点如
12、果，则当，且时，故不是的极大值点如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点如果，则则当时，；当时，所以是的极大值点，从而是的极大值点综上【民间解析】（1）法一：当时，函数的定义域为，此时记则所以函数在上单调递增，而所以当时，此时当时，此时法二：当时，则，当时，此时单调递减所以时，故函数在上单调递增所以时，当时，此时单调递增所以时，所以函数在上单调递增所以当时，综上所述若，证明：当时，当时，（2）法一：由可得所以因为是的极大值点所以，当时，；当时，又设，则，所以在上单调递增，所以当时，；当时，所以当时，设，则当时，；当时，所以函数在上单调递减；在上单调递增所以任意时，所以若时，此时不存在极值
13、，故由（1）知，当时，；当时，显然，当时，当时，则若，则，使得当时，此时不满足题意，故，即当时，则若，则，使得当时，此时，不满足题意，故，即综上，所以法二：记，当，时，所以在上单调递增，所以当时，即所以在上单调递增，与是的极大值点不符合；当时，显然可知递减，解得，则有，递增；时，递减，所以，故递减，又则，递增；，递减此时为的极大值点，符合题意当时，有，所以在有唯一零点，记为，则，递增则，递增，所以，即，递增，不符合题意；当时，有，所以在有唯一零点，记为，则，递减则，递减，所以，即，递减，不符合题意综上可知法三：（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极
14、大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0。），由得下证：当时，是的极大值点，所以在单增，在单减进而有，从而在单减，当时，当时，从而在单增，在单减，所以是的极大值点。点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过在阶的帕德逼近可得，且两个函数在处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相应的题目。尝试一难点在于的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。法四：引理1：若与在
15、处函数值和导数值都相同，则在处导数为证明：，因为，且，代入化简即证：引理2：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0。，令，则易得，由引理1知，等价于，从而迅速求得。当时，尝试二：若是的极大值点，注意到，则存在充分接近于的，使得当时，当时，得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。对任意的，都有，进而有当时，当时，当时，当时，综上：10(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)已知函数(1)若，证明：当时，；(2)若在只有一个零点，求【答案】解析：（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个
16、零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点由（1）知，当时，所以故在有一个零点因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，11(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：【答案】解:（1）的定义域为，（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减（ii）若，令得，或当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函
17、数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，所以，即12(2017年高考数学新课标卷理科)已知函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围【答案】(1)详见解析;(2) 【分析】(1)讨论的单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对按、进行讨论,写出函数的单调区间;(2)根据第(1)问,若,至多有一个零点,若,当时,取得最小值,求出最小值,根据,进行讨论,可知当有个零点,设正整数满足,则,由于,因此在有一个零点,所以的取值范围为 【解析】(1)的定义域为,()若,则,所以在单调递减 ()若,则由得 当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增 (2)()若,由(1)知,
18、至多有一个零点 ()若,由(1)知,当时,取得最小值,最小值为 当时,由于,故只有一个零点; 当时,由于,即,故没有零点; 当时,即 又,故在有一个零点 设正整数满足,则 由于,因此在有一个零点 综上,的取值范围为 【民间解析】:(1)函数的定义域为,且注意到当时,所以恒成立 此时函数在上单调递减 当,由,由所以函数在上单调递减,在上单调递增 综上可知 时,在上单调递减; 时,函数在上单调递减,在上单调递增 (2)由(1)可知,时,在上单调递减 此时至多一个零点,不符合题意 当时,函数在上单调递减,在上单调递增 此时函数的最小值为要使有两个零点,首先必须有即令,则有,故在上单调递增,而所以另一
19、方面取而,在单调递增 所以函数在上有唯一一个零点,在没有零点 此时当时,所以,而在上单调递减 所以函数在上没有零点,在上有唯一零点 综上可知当时,函数有两个零点 【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数的取值范围 【点评】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化已知函数有个零点求参数的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断与其交点的个数,从而求出的范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是:若有个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于,且后面还需验证有最小值的两边存在大于的点 13(2017年高考数
20、学课标卷理科)(12分)已知函数(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【答案】() ;()【解析】(),则,且当时,在上单调增,所以时,不满足题意; 当时, 当时,则在上单调递减; 当时,则在上单调递增 若,在上单调递增当时矛盾 若,在上单调递减当时矛盾 若,在上单调递减,在上单调递增满足题意 综上所述 ()当时即则有当且仅当时等号成立 ,一方面:, 即 另一方面:当时, 的最小值为 【考点】导数研究函数的单调性;导数研究函数的最值;利用导数证明不等式 【点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应
21、用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 14(2017年高考数学课标卷理科)(12分)已知函数且(1)求 ；(2)证明：存在唯一的极大值点，且【答案】(1)；(2)证明略【命题意图】本题考查函数的极值，导数的应用【基本解法】(1)法一由题知：，且 ，所以：即当时，；当时，；当时，成立令，当时，递减，所以：，即：所以：
22、；当时，递增，所以：，即：所以：；综上：法二洛必达法则由题知：，且 ，所以：即当时，；当时，；当时，成立令，令，当时，,递增，；所以，递减，所以：；当时，,递减，；所以，递减，所以：；故由(1)知：，设，则当时，；当时，所以在递减，在递增又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，又，所以是的唯一极大值点由得，故由得因为是在的唯一极大值点，由，得所以15(2016高考数学课标卷理科)设函数,其中,记的最大值为.()求;()求;()证明.【答案】();();()见解析.【解析】().()当时,因此,. 当时,将变形为.令,则是在上的最大值,且当 时,取得极小值,极小值为.令,解
23、得(舍去),.(i)当时,在内无极值点,所以.(ii)当时,由,知.又,所以.综上,.()由()得.当时,.当时,所以.当时,所以.16(2016高考数学课标卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数 的单调性，并证明当时，； (II)证明：当 时，函数 有最小值设的最小值为，求函数的值域【答案】（1）略；（2）分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解【解析】（）的定义域为且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增因此在处取得最小值，
24、最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有最小值，的值域是17(2016高考数学课标卷理科)(本小题满分12分)已知函数有两个零点(I)求a的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：【答案】(I)； (II)见解析【官方解答】(I)由已知得：若，那么，只有唯一的零点，不合题意；若，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取b满足且，则，故存在两个零点设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上的取值范围为(II)不妨设由(I)知在单调递减
25、所以，即由于，而所以设，则所以当时，则，故当时，从而，故【民间解答】(I)由已知得：若，那么，只有唯一的零点，不合题意；若，那么，所以当时，单调递增当时，单调递减即：极小值故在上至多一个零点，在上至多一个零点由于，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点而当时，故则的两根， 因为，故当或时，因此，当且时，又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点此时，在上有且只有两个零点，满足题意若，则，当时，即，单调递增；当时，即，单调递减；当时，即，单调递增即：00+极大值极小值而极大值故当时，在处取到最大值那么恒成立，即无解而当时，单调递增，至多一个零点此时在上至多一个零点，不合题意若，那么当时，即
26、，单调递增当时，即，单调递增又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意若，则当时，即，单调递增当时，即，单调递减当时，即，单调递增即：00极大值极小值故当时，在处取到最大值那么恒成立，即无解当时，单调递增，至多一个零点此时在上至多一个零点，不合题意综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为(II)由已知得：，不难发现，故可整理得：设，则那么当时，单调递减；当时，单调递增设，构造代数式：设，则，故单调递增，有因此，对于任意的，由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，在上单调递增，因此：整理得：18(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)设函数()证
27、明：在单调递减，在单调递增；()若对于任意，都有，求的取值范围【答案】（）详见解析；（）解析：（）若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）由（）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是考点：导数的综合应用19(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)已知函数()当为何值时，轴为曲线 的切线；()用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两
28、个零点；当时，有三个零点分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论解析：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得因此，当时，轴是曲线的切线 （）当时，从而，在（1，+）无零点当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数（）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点（）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=若0，即0，在
29、（0,1）无零点若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想20(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)已知函数=()讨论的单调性；()设，当时，, 求的最大值；()已知，估计ln2的近似值(精确到0001)【答案】解析：（），等号仅当时成立所以在上单调递增（）当时，等号仅当时成立，所以在上单调递增，而，故当时，若满足，即时，而，故，综上的最大值为2（）由（2）知，当时，
30、得当时，得所以考点：（1）利用导数判断函数的单调性；（2）利用导数研究不等式问题；（3）最值问题难度：D备注：高频考点21(2014高考数学课标1理科)设函数,曲线在点处的切线(1)求; (2)证明:【答案】解析:(1)函数的定义域为,由题意可得(),故 (2)由(1)知,从而等价于设函数,则,所以当时,当时,故在单调递减,在上单调递增,从而在上的最小值为( 设函数,则,所以当时,当时,故在上单调递增,在单调递减,从而在的最小值为( 综上:当时,即 考点:(1)利用导数的定义求函数的导数;(2)导数的几何意义(切线方程问题);(3)利用导数研究不等式问题;(4)等价转换思想 难度:D备注:高频
31、考点 22(2013高考数学新课标2理科)已知函数(1)设是的极值点，求，并讨论的单调性；(2)当时，证明【答案】（1）（2） 见解析；解析：（1）所以，显然在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增（2）证明令，则，所以是增函数，至多只有一个实数根，又，所以的唯一实根在区间内，设的根为t，则有，所以，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当 时，有，所以考点：（1）324导数与函数最值；（2）327导数与函数放缩难度： D备注：高频考点，典型题23(2013高考数学新课标1理科)已知函数，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线()求，的值()若2时，求的取值范围。【答案】（1）
32、=4，=2，=2，=2（2）1,解析：（）由已知得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由（）知，设函数=（），=，有题设可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，则20，当时，0，当时，0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而=0，当2时，0，即恒成立，(2)若，则=，当2时，0，在(2,+)单调递增，而=0，当2时，0，即恒成立，(3)若，则=0，当2时，不可能恒成立，综上所述，的取值范围为1,考点：（1）313导数的几何意义；（2）324导数与函数最值；（3）331利用导数研究“恒能恰”成立及参数求解问题难度：备注：高频考点24(2012高考数学新课标理科)已知函数满足满足(1)求的解析式及单调区间；(2)若，求的最大值【答案】（）增区间为,减区间为（）解析: (),令得,再由,令得所以的解析式为,易知是上的增函数,且所以所以函数的增区间为,减区间为()若恒成立,即恒成立，,(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;(2)当时,恒成立, 则,;(3)当时, 为增函数,由得, 故当时, 取最小值依题意有,即,令,则,所以当时, 取最大值故当时, 取最大值综上, 若，则 的最大值为