1、2020 年上海交通大学强基计划试题1.函数()f x 的定义域为(0,1),若1(0,)2c,则函数()()()g xf xcf xc的定义域为。2.已知方程2sin1xx,则下列判断:(1)方程没有正数解;(2)方程有无穷多个解;(3)方程有一个正数解;(4)方程的实根小于 1,其中判断错误的有。3.小于 1000 的正整数中,既不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有个。4.已知边长为 a 的正三角形 ABC,D,E 分别在边,AB BC 上,满足3aADBE,连接,AE CD,则 AE 和CD 的夹角为。5.ABC的顶点坐标分别为(3,4),(6,0),(5,2)ABC,则角 A 的
2、平分线所在的直线方程为。6.从 2 个红球,3 个黑球,5 个白球中任意取 6 个,有种不同的取法。7.已知2yaxbxc过(3,4),(5,4)AB,则 2ab。8.过抛物线22(0)ypx p的焦点 F 作直线 m 交抛物线于 A、B 两点,若 A、B 横坐标之和为 5,则直线 m 的条数为。9.用同样大小的正n 边形平铺整个平面(没有重叠),若要将平面铺满,则n 的值为。10.若三条直线220,2,0 xyxxky将平面划分成 6 个部分,则 k 可能的取值情况是()。A.只有唯一值B.有两个不同值C.有三个不同值D.无穷多个值11.非零实数,a b c,若,bc ac ababc成等差
3、数列,则下列不等式一定成立的是()。A.bacB.2acbC.2bacD.222abc12.若集合 M 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 M 中,则称 M 是封闭集合,下列集合:(1)R;(2)Q;(3)RC Q;(4)|2,x xmn m nZ中,封闭集合的个数为。13.方程2(1)1x xy 的正整数解有。14.若,0a b,且满足 111abab,则 ab。15.若四面体的各个顶点到平面 距离都相同,则称平面 为该四面体的中位面,则一个四面体的中位面的个数为。16.设()m a 是函数2()f xxa在区间1,1上的最大值,则()m a 的最小值为。17.立方体 8 个顶点任意两个
4、顶点所在的直线中,异面直线共有对。18.空间三条直线,a b c 两两异面,则与三条直线都相交的直线有条。19.用平面截一个单位正方体,若截面是六边形,则此六边形周长的最小值为。20.矩形 ABCD 的边2AB,过 B、D 作直线 AC 的垂线,垂足分别为 E、F,且 E、F 分别为 AC的三等分点,沿着 AC 将矩形翻折,使得二面角 BACD成直角,则 BD 长度为。21.平面上给定 5 个点,任意三点不共线,过任意两点作直线,已知任意两条直线既不平行也不垂直,过5 点中任意一点向另外四点的连线作垂线,则所有这些垂线的交点(不包括已知的 5 点)个数至多有个。22.实数,a b 满足5960
5、()1,()1abab ,则601nnnab。23.甲、乙、丙三人的职业分别是,A B C,乙的年龄比C 大,丙的年龄和 B 不同,B 比甲的年龄小,则甲乙丙的职业分别为()。A.ABCB.CABC.CBAD.BCA24.函数4sin cos33,(,)sincos44xxyxxx 的最小值是。2020 年上海交通大学强基计划试题解析1.【答案】1cxc【解析】由题意知 011011xccxcxccxc ,因为10,2c,所以1cxc。2.【答案】(1)【解析】2sin1xx 转化为函数()2xf x 与()sin1g xx 的交点问题,所以错误的是(1)。3.【答案】686【解析】由题意可知
6、1000994980999168657354.【答案】60【解析】方法一:ABECADBAEACD 因为6060BAECAEACDCAE 即60COE方法二:如图作,DFAECDF即为所求角2217293 23aaCDAEaaa22 7227,399993DFBFaaaDFa BFCFaaAE 22222228749181981cos2232 77293aaaDFCDCFCDFCDFDF CDaa 5.【答案】717yx【解析】由题意可知90BAC,角平分线所在直线倾斜角为4044tan3633ABkABO 413tantan(45)7413ABO 角 A 的平分线所在的直线方程为7(3)47
7、17yxx6.【答案】11【解析】设取出的球中有,x y z 个红球,黑球,白球,且0,1,2,0,1,2,3xy,0,1,2,3,4,5z,6xyz(1)当0 x 时,6yz,则有(1,5),(2,4),(3,3),3 种;(2)当1x 时,5yz,则有(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),4 种;(3)当2x 时,4yz,则有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),4 种;共34411种。7.【答案】0【解析】(3)4,(5)4ff,A、B 关于对称轴对称所以352022baba。8.【答案】见解析【解析】设直线2pxty,联立得2222202ypxyptyppxtp 2
8、12125()52pxxt yyptp(1)当5p 时,直线条数为 0 条;(2)当5p 时,直线条数为 1 条;(3)当05p时,直线条数为 2 条。9.【答案】3,4,6【解析】设需要 x 个正 n 边形,铺满内角和等于360则(2)180436023,4,62nxxNnnn10.【答案】2,1,0【解析】三条直线将平面分成 6 个部分,有两种情况:(1)两条平行与第三条相交;(2)三条直线相交于一点,则2,1,0k 11.【答案】C【解析】由题意可知222222222(+)2acbcaba cb acb acbacbac,所以 A 可能成立,由基本不等式可得2242acacbacb,所以
9、 B 一定成立由2222222222222111112a ca bb cbacabc或222111cba即222abc或222cba,所以 D 可能成立故选C12.【答案】2【解析】显然,(1)、(2)满足题意对于(3)3RC Q,2 3RC Q,但 2 3=23RC Q,故(3)不是封闭集合对于(4)32122252|2,1471442x xmn m nZ,故(4)不是封闭集合综上,封闭集合个数为 2。13.【答案】0【解析】由题意可知222(1)11x xyyxxyx 由22(1)1(1)(1)(1)1x xyyyyx xyx 所以1xyx,y 无正整数,所以方程2(1)1x xy 的正整
10、数解有 0 个。14.【答案】152【解析】由22211110aaababababbb 因为,0a b,所以152ab15.【答案】7【解析】与四个表面分别平行的面有 4 个,与两条对棱分别平行的平面有 3 个,共 7 个。16.【答案】12【解析】(1)当0a 时,()11m aa(2)当1a 时,()1m aa(3)当01a时,1()max1,)2m aa a综上()m a 的最小值为 1217.【答案】174【解析】找异面直线需要构造三棱锥,每个三棱锥有 3 组异面直线所以44484466706658CCC,58317418.【答案】无数条【解析】如图所示,直线,a b c 两两异面,在
11、c 上任取一点 A,过 A 作ABa,构造平面 ABCD,则直线b 与平面相 ABCD 交于点 E,连接 AE交a 于 F,即直线 AF 与三条异面直线,a b c都相交,由于 A 任意性,所以有无数条。19.【答案】3 2【解析】如图所示,六边形周边最小值为263 2220.【答案】153【解析】设 AFEFECx则223cos332xBAExx所以221523BDBEx21.【答案】310【解析】(1)设 5 个点为,a b c d e,其中,b c d e 四个点共有246C 条连线,a 点可向这 6 条线作 6 条垂线,一共5630条,此时垂线的交点个数至多为230435C个。(2)点
12、a 可以向,b c d e 这四个点的 6 条连线作垂线,有2615C 个点,所以共5 1575个(3)点,c d e 向点,a b 作垂线,可作 3 条,这三条互相平行,没有交点,此时有233C,共225330C C 个;(4)五个点中任意三个构成一个三角形,三角形三条高相交于一点(三条垂线只有一个交点),此时有22353520C CC个综上这些垂线的交点个数至多有 435753020310个。22.【答案】0【解析】由题意得:11abab 或11abab 01ab 或10ab 所以1,(1,3,559)1,(2,4,660)nnnabn 则6010nnnab23.【答案】A【解析】由题意得乙的职业是 B,乙比 C 大,丙的年龄和 B 不同,B 比甲小,甲、乙、丙三人的职业分别是 A,B,C24.【答案】2 2【解析】令3sincos,2 sin(0,1444txx xtx 且224sin cos32(1)321xxtt221122 2tyttt当且仅当1222ttt 时取等号,所以函数的最小值为2 2