1、第13章 立体几何初步131 基本立体图形131.1 棱柱、棱锥和棱台课程标准1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构基础认知自主学习【概念认知】1棱柱的结构特征(1)棱柱的定义：由一个平面多边形沿_形成的空间图形叫作棱柱，平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面(2)棱柱的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDEABCDE.某一方向平移(3)特殊的棱柱 直棱柱：侧棱_于底面的棱柱；斜棱柱：侧棱不垂
2、直于底面的棱柱；正棱柱：底面是_的直棱柱；平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 垂直 正多边形 2棱锥的结构特征(1)棱锥的定义：当棱柱的一个底面_为一个点时，得到的空间图形叫作棱 锥(2)棱锥的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四 棱锥(底面是四边形)其中三棱锥又叫四面体 棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，例如三棱锥可表示为：三棱锥 SABC.(3)特殊的棱锥 正棱锥：底面是_，并且顶点与底面中心的连线_于底面的棱锥 收缩 正多边形 垂直 3棱台的结构特征(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台(2)棱台的分类及表示
3、：根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE-ABCDE.4多面体的定义 由若干个_围成的空间图形叫作多面体围成多面体的各个多边形叫 作多面体的面；两个面的_叫作多面体的棱；棱与棱的_叫作多面体 的顶点 平面多边形 公共边 公共点【自我小测】1一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是()A底面是正方形，有两个侧面是矩形B底面是正方形，两个侧面垂直于底面C底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直D底面是正方形，每个侧面都是全等矩形【解析】选D.满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形，A错误；垂
4、直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面，B错误；底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直，C错误；侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征，故D正确2下面图形中，为棱锥的是()ABCD【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥，是棱锥3如图，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A.三棱锥 B四棱锥C三棱柱D三棱台【解析】选B.剩余几何体为四棱锥ABCCB.4用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是_(填序号)三角形；四边形；五边形【解析】按如图所示用一个平面去截三棱锥，截
5、面是三角形；按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形答案：5正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高等于_【解析】棱台的侧面是一个梯形，上底长为5，下底长为7，腰长为9，由勾股定理得h9212 4 5.答案：4 56下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是_【解析】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一
6、定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥答案：(2)(3)7如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B经M到C1的最短路线长及此时A1MAM 的值【解析】将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1B(如图).(1)因为矩形BB1B1B的长BB6，宽BB12，所以三棱柱侧面展开图的对角线长为6222 2 10.(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C
7、1的路线最短，所以最短路线长为BC14222 2 5，显然RtABMRtA1C1M，所以A1MAM，即A1MAM 1.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()【解析】选C.将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体2在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A1个B2个C3个D4个【解析】选D.在三棱锥A-BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个3五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A20
8、条B15条C12条D10条【解析】选D.如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，所以共2510(条).4下列几何体中是棱柱的个数有()A.5个 B4个 C3个 D2个【解析】选D.由棱柱的定义知是棱柱5下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A三棱锥的四个面是三角形B棱锥都有两个面互相平行的多边形C棱锥的侧面都是三角形D棱锥的侧棱相交于一点【解析】选B.根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错6水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方
9、体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A1 B9 C快D乐【解析】选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，如图：“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”二、填空题7一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_cm.【解析】因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605 12(cm).答案：12三、解答题8如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程【解析】由题意，若以BC(或
10、DC)为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 13 cm.若以BB1(DD1)为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 13 cm.9如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？【解析】将长方体展开，连接AB，因为AA13138(cm)，AB6 cm，根据两点之间线段最短，AB8262 10(cm).所以所用细线最
11、短需要10 cm.【综合突破练】一、选择题1(2021合肥高一检测)四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A四条侧棱、四个顶点B八条侧棱、四个顶点C四条侧棱、八个顶点D六条侧棱、八个顶点【解析】选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点2如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的()【解析】选A.由所给正方体可知4，6，8分别位于相邻的三个侧面【加固训练】如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC()A60 B90 C45 D30【解析】选B.将展开图还原为正方体，如图所示，点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则ABC90.3一
12、个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A至多有一个是直角三角形B至多有两个是直角三角形C可能都是直角三角形D必然都是非直角三角形【解析】选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多在如图所示的长方体中，三棱锥A-A1C1D1的三个侧面都是直角三角形【误区警示】解答本题时一看见至多至少的问题容易受到干扰，易从三棱锥中进行研究，会忽略某些特殊情况而致错4(多选)下列关于棱柱的说法不正确的是()四棱柱是平行六面体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四
13、边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱A B C D【解析】选ABD.四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故不正确；说法就是棱柱的定义，故正确；对比定义，显然不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，不正确二、填空题5从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点其中正确结论的个数为_【解题指南】作出正方体，充分发挥想
14、象力，从平面和立体图形两方面考虑，找到四个顶点，进行判断【解析】如图所示，四边形ABCD为矩形故(1)满足条件；四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件，故正确的结论有4个答案：46有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H对面的字母是_【解析】由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E，S，P，D，故H的对面的字母为O.答案：O7下列关于棱柱的说法：(1)所有
15、的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱其中正确说法的序号是_【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱所以说法正确的序号是(3)(4).答案：(3)(4)8(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对
16、称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.【解析】上下各一个面，中间三层每层8个面，共26个面最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形，如图：，则有8360，解得45，即设棱长为x，可得22x2x1，解得x 2 1.答案：26 2 1三、解答题9画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示【解析】画三棱台一定要利用三棱锥(1)如图所示，三棱柱是棱柱ABCABC，另一个多面体是CBBCCB.(2)如图所示，三个三棱锥分别是AABC，BABC，CABC.10如图，在三棱锥V-ABC中，VAVBVC4，AVBAVCBVC30，过点A作截面AEF，求AEF周长的最小值【思路导引】求AEF的周长的最小值就是求AEEFAF的最小值，将三棱锥V-ABC展开，两点之间线段最短【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求AEF周长的最小值因为AVBA1VCBVC30，所以AVA190.又VAVA14，所以AA14 2.所以AEF周长的最小值为4 2.