1、1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性知识梳理1.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_，这一区间叫做y=f(x)的_，在_上增函数的图象是_，减函数的图象是下降的.2.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果_，那么f(x)为增函数；如果_，那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)为_.知识导学 要学好本节内容，重要的是要掌握好怎样利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数的定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号来确定函数f(x)在该区间上的单
2、调性.疑难突破1.本节内容的重点是利用函数的导数来判断函数的单调性，难点在于如何把握导数的符号与函数单调性之间的关系.若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f(x)0，则f(x)在(a,b)内为增函数对吗？反之成立吗？剖析:对,反之不成立.例如y=x3在xR上恒为增函数,但f(x)=3x20.2.判断函数y=f(x)在某一区间内有f(x)0或f(x)0是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的什么条件？剖析：在某一区间内f(x)0或f(x)0是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.典题精讲【例1】 讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=ax-a-x(a0且a1);(2)
3、f(x)=(-1x1,b0).思路分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，由函数定义域中导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号来确定f(x)在该区间的单调性，当给定函数含有字母参数时，要运用分类讨论的思想方法.解：(1)函数定义域为R.f(x)=axlna-a-xlna(-x)=lna(ax+a-x).当a1时,lna0,ax+a-x0,f(x)0.函数f(x)在(-,+)上是单调增函数；当0a1时，lna0,ax+a-x0,f(x)0.函数f(x)在(-,+)上是减函数.(2)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0，1)上的单调性.当0x1时，f(x)
4、=b.若b0，则f(x)0,函数f(x)在(0，1)上是减函数；若b0，则f(x)0,函数f(x)在(0，1)上是增函数.又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，所以当b0时，函数f(x)在(-1，1)上是减函数；当b0时，函数f(x)在(-1，1)上是增函数.绿色通道：在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断.明确利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0;(4)确定f(x)的单调区间
5、.变式训练：求下列函数的单调区间，并指出其单调性.(1)y=2x-lnx;(2)y=+cosx;(3)y=x3-x.思路分析：按判断函数单调性的方法解之即可.解：(1)函数的定义域为(0，+)，其导数f(x)=.令0,解得x;令0,得0x.因此，(，+)为该函数的单调增区间，(0，)为该函数的单调减区间.(2)函数的定义域为R，f(x)=-sinx.令-sinx0，解得2k+x2k+(kZ)；令-sinx0，解得2k-x2k+(kZ).因此f(x)在(2k+,2k+)(kZ)上为减函数,在(2k-,2k+)(kZ)上为增函数.(3)函数的定义域为R，令y=3x2-10，得x.令y=3x2-10
6、，得,y=x3-x有三个单调区间.其中在(-,)和(,+)上是增函数，在(,)上为减函数.【例2】 已知xR,求证：exx+1.思路分析：首先需构造函数，对函数进行求导并判断函数的单调性.证明：令f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.xR,ex-10恒成立，即f(x)0.f(x)在xR上为增函数.又f(0)=0,当xR时,f(x)f(0)，即ex-x-10.exx+1.绿色通道：这是一类构造函数再求导的题目，这种方法常用来证明不等式的成立.变式训练：证明不等式ln(1+x)x-x2(x0).证明：令f(x)=ln(1+x)-x+x2,则f(x)=.当x-1时,f(x)0，因此f(x)在(
7、-1,+)内为增函数.于是当x0时，f(x)f(0)=0.当x0时，ln(1+x)x-x2.【例3】 已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1).(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)-f(x),试问:是否存在实数,使(x)在(-,-1)内为减函数，且在(-1，0)内是增函数.思路分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数(x)是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单
8、调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数的取值范围,使问题获解.解:(1)由题意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1),(x2+c)2+c=(x2+1)2+c.x2+c=x2+1.c=1.f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1.(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+(2-)x2+(2-).若满足条件的存在,则(x)=4x3+2(2-)x.函数(x)在(-,-1)上是减函数,当x-1时,(x)0,即4x3+2(2-)x0对于x(-,-1)恒成立.2(2-)-4x2.x-1,-4x2-
9、4.2(2-)-4.解得4.又函数(x)在(-1,0)上是增函数,当-1x0时,(x)0,即4x2+2(2-) x0对x(-1,0)恒成立.2(2-)-4x2.-1x0.-44x20.2(2-)-4,解得4,故当=4时,(x)在(-,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的存在.绿色通道：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系,因此挖掘题目中隐含条件则是打开解题思路的重要钥匙.具体到解题的过程,学生最大思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中，促成问题的解决,不善于应用
10、f(x)a恒成立f(x)maxa和f(x)a恒成立f(x)mina.变式训练：当x0时,证明不等式ex1+x+x2成立.证明:设f(x)=ex-1-x-x2则f(x)=ex-1-x.下面证明g(x)=ex-1-x在x0时恒为正.g(x)=ex-1,当x0时,g(x)=ex-10,g(x)在(0,+)上为增函数.当x0时,g(x)g(0)=0,即f(x)在(0,+)上恒为正.f(x)在(0,+)上为增函数.又f(0)=e0-1-0-0=0,x0时,f(x)f(0)=0.ex-1-x-x20,即x0时,ex1+x+x2成立.问题探究问题：研究函数单调性的必要条件是什么？导思：此问题主要考查学生逆向思维能力，考虑问题要全方位进行，有利于培养数学思维能力.探究：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果y=f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内f(x)0或f(x)0，但当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在该区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如在x(-,+)上，f(x)=x3：当x=0时，f(x)=0;当x0时，f(x)0.而f(x)=x3,显然在(-, +)上是单调增函数.