1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四)解三角形的实际应用举例高度、角度问题一、选择题(每小题3分，共18分)1.小强站在地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则小强观测山顶的仰角为()A.+B.-C.-D.【解析】选C.如图所示，设山顶的仰角为，则-=，因此=-，故选C.2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()A.B.=C.+=90D.+=180【解析】选B.根据仰角与俯角的定义，画图即可得知.3.如图所示，为测一树的高度
2、，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+3)m【解析】选A.设树高为xm，则BC=xm，AC=(60+x)m，AP=2xm，在APC中，由勾股定理得4x2=x2+(x+60)2，解得x=30+30或x=30-30(舍).4.在“国庆节”期间，一商场为了做广告，在广场上升起了一广告气球，其直径为4 m，当人们仰望气球中心的仰角为60时，测得气球的视角为2(当很小时，可取sin，3.14)，则该气球的中心到地面的距离约为()A.99 mB.95 mC
3、.90 mD.89 m【解析】选A.如图，过C作CDAD于D，在RtADC中，sin=，=1，所以AC=(m)，在RtABC中，BC=ACsin 60=99(m).【变式训练】(2013大连高二检测)如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC=100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()A.50米B.100米C.50米D.100米【解析】选A.因为DAC=ACB-D=60-30=30，所以ADC为等腰三角形.所以AC=DC=100米，在RtABC中，AB=ACsin60=50米.5.(2014昆明高二检测)要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江
4、西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A.100米B.400米C.200米D.500米【解题指南】画出图形，根据图形分析求解.【解析】选D.由题意画出示意图，设高AB=h，在RtABC中，由已知BC=h，在RtABD中，由已知BD=h，在BCD中，由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD，得3h2=h2+5002+h500，解之得h=500(米)，故选D.6.(2014浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行
5、射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15m，AC=25m，BCM=30，则tan的最大值是()A.B.C.D.【解析】选D.由勾股定理可得，BC=20m，过点P作PPBC，交BC于点P，连接AP，如图，则tan=，设BP=x，则CP=20-x，由BCM=30得，PP=CPtan30=(20-x).在RtABP中，AP=，故tan=.令y=，则y=-，当x0，当-x20时，y0，所以当x=-时，y最大=，所以tan的最大值=.二、填空题(每小题4分，共12
6、分)7.(2015无锡高二检测)在一座20m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60，塔底的俯角为45，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是m.【解析】如图，等腰三角形ABD中，AD=BD=20，在ACD中，CD=ADtan60=20，因此水塔的高度为h=DB+CD=20+20.答案：20+208.在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为m.【解析】过点A作AHBC于H，由图易知BAH=45，CAH=60，AH=200m，则BH=AH=200m，CH=AHtan60=200m.故两船距离BC=BH+CH=200(+
7、1)m.答案：200(+1)9.(2014兰州高二检测)坡度为45的斜坡长为100m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长 .【解析】如图，DB=100，BDA=45，BCA=30，设CD=x，所以(x+DA)tan30=DAtan45，又DA=BDcos45=100=50，所以x=-DA=-50，=50(-1)=50(-)(m).答案：50(-)m【举一反三】条件不变，若要通过降低斜坡的高度来实现，需要降低米.【解析】如图所示，依题意AC=100米，ACB=45，DCB=30，B=90，ADC=120，在ACD中，由正弦定理得，=，所以AD=50(-)(米).答案：50(-)三、解答题(每小题
8、10分，共20分)10.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高.【解析】由已知可得在ACB中，AC=BC=30m，在ACD中，AD=DC=10m，ADC =180-4，=.因为sin 4=2sin2cos2.所以cos2=，得2=30，所以=15，所以在RtADE中，AE=ADsin60=15m.答：所求角为15，建筑物高度为15m.【一题多解】方法一：设DE= x，AE=h，在RtACE中，(10+x)2+h2=302，在RtADE中，x2+h2=(10)2，两式相减
9、，得x=5m，h=15m，所以在RtACE中，tan2=，所以2=30，=15.答：所求角为15，建筑物高度为15m.方法二：设建筑物高AE=x，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m，AD=CD=10m.在RtACE中，sin2=，在RtADE中，sin4=，得cos2=，2=30，=15，AE=ADsin60=15m.答：所求角为15，建筑物高度为15m.11.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值.【解
10、析】如题干图所示，在ABC中，AB=40海里，AC=20海里，BAC=120，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2800，故BC=20(海里).由正弦定理得=，所以sinACB=，由BAC=120，知ACB为锐角，则cosACB=.易知=ACB+30，故cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.某次测量中，若A在B的南偏东40，则B在A的()A.北偏西40B.北偏东50C.北偏西50D.南偏西50【解析】选A.因为A在B的南偏东40，所以B在A的北偏西40.2.(2015天津高二检测)如图
11、所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高度AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m【解析】选D.设AB=x，则AD=2x，BD=x，BC=x，由题意得x-x=10，即x=5(+1).3.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A.5海里B.10海里C.15海里D.20海里【解析】选B.如图所示，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=C
12、A=10，在RtABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10(海里/小时).4.如图，建造一幢宽为2l，房顶横截面为等腰三角形的住房，且ABC=，若使雨水从房顶最快流下，则等于()A.30B.45C.60D.任意角【解析】选B.根据题意知s=AB= ，加速度a=gsin.由s=at2得t2=，所以=45时t最小.二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20m，在A点测得P点的仰角OAP=30，在B点测得P点的仰角OBP=45，又测得AOB=60，则旗杆的高度h(结果精确到1m)为.【解析】在RtAOP中，OA=OP
13、tan60=h.在RtBOP中，OB=OPtan45=h.在AOB中，根据余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60，即202=(h)2+h2-2hh，所以h2=176，即h13.所以旗杆的高度约为13m.答案：13m6.某人在C点测得位于其南偏西80的塔顶A仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为米.【解析】设塔高为h米，在RtAOC中，ACO=45，则OC=OA=h.在RtAOD中，ADO=30，则OD=h，在OCD中，OCD=120，CD=10，由余弦定理得：OD2=OC2+CD2-2OCCDcosOCD，即(h)2=h2+102-2h
14、10cos120，所以h2-5h-50=0，解得h=10或h=-5(舍).答案：10三、解答题(每小题12分，共24分)7.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离.(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)【解析】在ACD中，DAC=30，ADC=60-DAC=30，所以CD=AC=0.1km.又BCD=180-60-60=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所
15、以BD=BA，在ABC中，=，即AB=，因此，BD=0.33(km)，故B，D间距离与B，A间距离相等，且B，D的距离约为0.33 km.【方法锦囊】正、余弦定理在实际问题中的综合应用正、余弦定理在实际生产生活中，有着广泛应用，常见题有距离、高度、角度问题以及求平面图形的面积等.在解这类问题时，首先应明确各术语的含义，分析题意，分清已知与所求，找出各量之间的关系，再根据题意正确画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型问题，这是最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点，最后将结果还原为实际问题的解.8.(2015天津高二检
16、测)如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知ABC=120，ADC=150，BD=1(千米)，AC=3(千米)，假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解题指南】先利用正弦定理，求出AD，再在ADC中，由余弦定理，求出DC，即可得出结论.【解析】由ADC=150知ADB=30，由正弦定理得=，所以AD=.在ADC中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2-2ADDCcos150，即32=()2+DC2-2DCcos150，即DC2+3DC-6=0，解得DC=1.372(千米)，所以BC2.372(千米)，由于2.3722.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰关闭Word文档返回原板块