1、2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则 ()A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考
2、查了交集的定义，属于基础题.2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】由得，复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（ ）A. 甲、乙成绩的中位数均为7B. 乙的成绩的平均
3、分为6.8C. 甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差【答案】D【解析】【分析】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B中，求出乙的成绩的平均分为7；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.【详解】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为，故A错误；在B中，乙的成绩的平均分为：（2+4+6+7+7+8+8+9+9
4、+10）7，故B错误；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C错误；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于A，为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意；对于C，在上单调递减，不符合题意；对于D，在上单调递减，不符合题意；故选B点睛：识图常用的
5、方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题5.已知双曲线，直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为坐标原点若为直角三角形，则C的离心率为（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到关系，进而求得关系，利用求得结果.【详解】为直角三角形，结合对称性可知，双曲线的渐近线为：即 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲
6、线的对称性得到渐近线方程.6.已知点在圆上，为中点，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆的特征可确定为锐角，因此只需求出的正切值的最大值即可.【详解】设，因为为中点，所以，所以，因为点在圆上，则,不妨令，则，令，则所以当且仅当时，取最大值，故.故选C.【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.7.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先利用函
7、数的图象和性质求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换求出的函数的关系式，进一步求出函数的值域【详解】由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期又因为，所以，解得将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象因为函数为偶函数，所以，由，解得，所以因为，所以，所以函数在区间上的值域是故选：D【点睛】本题主要考查三角函数关系式恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题8.已知函数，若且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线
8、，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值.【详解】如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，当时，令，得，切点坐标为，此时，故选B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.下列命题错误的是（ ）A
9、. ，B. ，C. ，D. ，【答案】AC【解析】【分析】根据指数函数和对数函数性质对各个选项进行判断【详解】由指数函数的性质可知，当时，恒成立，A错误；由对数函数的性质可知，当时，恒成立，B正确；对于C，当时，则，C错误；对于D，当时，由对数函数与指数函数的性质可知，当时，恒成立，D正确故选：AC【点睛】本题考查全称命题和特称命题的的真假判断，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键10.已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）A. 函数是以2为周期的周期函数B. 函数是以4为周期的周期函数C. 函数为奇函数D. 函数为偶函数【答案】BC【解析】【分析】对于选项，分析得到函数是周期为4的周期函
10、数，由此可知选项A错误，选项B正确；对于选项,证明函数为奇函数，所以选项C正确；对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，则为奇函数，所以选项D错误【详解】对于选项,函数为偶函数，则，即，故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；对于选项,令，则在中，将换为，得，则函数为奇函数，所以选项C正确对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，则为奇函数，所以选项D错误故选：BC.【点睛】本题主要考查函数的周期的判定，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知正项数列满足：，是的前n项和，则下列四个命题中错误的是（ ）A. B. C. D. 是递增数列【答案】D【
11、解析】【分析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知 ，得到，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到，再求和证明；D.设数列是公比为4的等比数列，说明结论.【详解】A.，根据已知可知，故A正确；B.， ，由A可知 ，,，故B正确；C.由A可知,， ，由A可知 ， ， ，故C成立；D.若数列是正项等比数列，并且公比，则，此时是常数列，不是递增数列，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点若直线与的斜率
12、之积为，则（ ）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过定点D. 点到直线的距离不大于2【答案】CD【解析】【分析】通过轴时的特殊情况，判断A、B选项不正确；当直线与轴不垂直时，设直线方程，通过推理论证，得出直线过定点，进而得出点到直线的距离最大值即为O、Q两点间的距离，进而得出CD正确.【详解】不妨设为第一象限内的点，当直线轴时，由，得，所以直线，的方程分别为：和与抛物线方程联立，得，所以直线的方程为，此时，以为直径的圆的面积，故A、B不正确当直线与轴不垂直时，设直线方程为，与抛物线方程联立消去，得，则设，则因为，所以，则，则，所以，即，所以直线的方程为，即综上可知，直线为恒过定点的动
13、直线，故C正确；易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为2，即原点到直线的距离不大于2故D正确故选：CD【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论和数形结合思想，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部频率组距介于13分钟到18分钟之间现将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这50名参赛选手中获奖的人数为_【答案】11【解析】【分析】由频率分布直方图的性质，求得成绩在之间的频率，进而求得这50名参赛选手中获奖的人数，得
14、到答案.【详解】由频率分布直方图的性质，可得成绩在之间的频率为，所以这50名参赛选手中获奖的人数为故答案为：.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及其应用，其中解答中根据频率分布直方图的性质求得相应的概率是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14.在中，为边上的高若，则_【答案】【解析】【分析】根据题意画出图象，根据条件求出，从而可得出，根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算得出，从而根据平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案【详解】根据题意画出图象，如图为边上的高，则，又，故故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握向量的线性表示，根据系数相等求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属
15、于基础题15.在实数集中定义一种运算“*”，具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，；（3）对任意，.则函数的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】根据题中给出的对应法则,可得,利用基本不等式求最值可得,当且仅当时等号成立,由此可得函数的最小值为.【详解】解:对任意,令.代入得,由可得,由可得,所以,因为,由均值不等式可得（当且仅当,即时,等号成立）.所以（）的最小值为3.故答案为:3【点睛】本题给出新定义,求函数的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识属于中档题.16.在三棱锥中，平面，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则_，三棱锥的外接球的
16、表面积为_【答案】 (1). 6 (2). 【解析】【分析】（1）设直线与平面所成的角为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值；（2）取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解.【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，如图所示，则，所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以因为，所以，所以，所以，所以取的外接圆的圆心为，则圆的半径连接，作于点，则点为的中点，所以，故三棱锥的外接球的表面积故答案为：6；.【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解
17、掌握水平.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知同时满足下列四个条件中的三个：； ； （）请指出这三个条件，并说明理由；（）求的面积【答案】（）满足，；（）.【解析】【分析】（）通过余弦函数的性质可以判断，不能同时满足，也就可以判断出，能同时满足，最后判断出不能和，同时满足；（）利用余弦定理可以求出的值，再利用面积公式求出面积.【详解】（）解：同时满足，理由如下：若同时满足，因为，且，所以所以，矛盾所以只能同时满足，所以，所以，故不满足故满足，（）解：因为，所以解得，或（舍）所以的面积【点睛】本题考查了余弦函数的性质、余弦定理、面积公式，考查了数学推
18、理论证能力.18.已知数列满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.详解】证明：（1），.又，.又，数列是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，.【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.19.“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了5000名使用支付
19、宝的人员进行调查，所得情况如下表所示：50岁以上50岁以下使用支付宝捐步10001000不使用支付宝捐步2500500（1）由上表数据，能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？（2）55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关第x天第1天第2天第3天第4天第5天步数40004200430050005500（i）根据上表数据，建立关于的线性回归方程；（ii）记由（i）中回归方程得到的预测步数为，若从5天中任取3天，记的天数为X，求X的分布列以及数学期望附参考公式与数据：，；K2=；P(K2k0)0.1000.0500.01
20、00.001k02.7063.8416.63510.828【答案】（1）有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i）,（ii）X的分布列为：X123【解析】【分析】（1）根据列联表，计算,再根据所给的表中的数据，得出结论（2）（i）分别计算出的值，代入公式中得出、的值，写出关于的线性回归方程（ii）分别计算出每天的预测步数为，求出的天数，确定X的可能取值，求出每个可能取值的概率，列出分布列，求出数学期望【详解】（1），所以有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i）,，所以关于线性回归方程为（ii）根据线性回归方程，把=1，2，3，4，5分别代入线性回归
21、方程中，求出每天的预测步数，如下表所示：第x天第1天第2天第3天第4天第5天步数40004200430050005500预测步数为38404220460049805360由表中可知：的天数共有3天，从5天中任取3天，记的天数为X，X=1，2，3；X的分布列为：X123【点睛】本题考查了独立性检验中的计算、线性回归方程、离散型随机变量分布列及数学期望20.如图1，在四边形中，是上的点，为的中点将沿折起到的位置，使得，如图2 （1）求证：平面平面；（2）点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）计算出、的长，利用勾股定理证明
22、出，利用线面垂直的判定定理可证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；（2）以点为坐标原点，、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法结合线面角的正弦值可求得的值，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）因为，所以.又，所以，在中，所以在中，所以，所以因为平面，平面，所以平面又平面，所以平面平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，则、，设，其中，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以，所以，化简得，解得或（舍），所以，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以，所以由图可知二面角为锐二面角
23、，所以当直线与平面所成角的正弦值为时，二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求二面角的余弦值，以及线面角的正弦值求参数，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，在、上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求、的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设椭圆，根据题意可知点在椭圆上，可得出，进一步得知点在椭圆上，可求得的值，可求出椭圆的方程，从而可得出抛物线上的点的坐标，进而可求得抛
24、物线的标准方程；（2）设点，利用导数可求得切线的方程，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求得，求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出面积关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最大值.【详解】（1）设，由题意知点一定在椭圆上，则，得，所以，椭圆上的点的横坐标的取值范围是，则点也在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆方程得，解得，所以，椭圆的标准方程为设抛物线，依题意知点在抛物线上，代入抛物线的方程，得，所以，抛物线的标准方程为；（2）设、，由知，故直线的方程为，即，代入椭圆的方程整理得，由韦达定理得，设点到直线的距离为，则，当时取到等号，此时满足综上所述
25、，面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆和抛物线方程的求解，同时也考查了三角形面积最值的求解，考查了抛物线切线方程的应用，考查计算能力，属于难题.22.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：【答案】（1）见解析;（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2），只要证明即，分别根据构造函数，利用导数求出函数的最值，即可证明【详解】（1），当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，令，解得当时，则当或时，当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，则当或时，当时，,函数在，上单调递增，在上单调递减，（2）证明：由，可得，即，设，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，设，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，综上所述【点睛】本题考查导数和函数的单调性和最值的关系，考查运算求解能力，转化与化归能力，分类讨论的能力，属于难题
