1、百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第七模拟）一、选择题：共12题1已知集合A=x|-1x4,B=xZ|x2-6x0,则AB=A.1,2B.2,3C.1,2,3D.2,3,4【答案】C【解析】本题考查不等式的解法、集合的基本运算,考查考生基本的运算能力,属于基础题.通解解题时,先求出集合B,再求解交集;优解由排除法得出正确选项.通解由x2-6x0可得0x6,所以B=1,2,3,4,5,所以AB=1,2,3.优解因为求的是交集,先排除D,又元素1,2,3均符合集合A和B,故选C. 2已知tan0,且sin=-,则sin 2=A.B.-C.D.-【答案】B【解析】本题考查三角
2、函数求值,考查考生基本的运算能力和对基础知识的掌握情况.解题的关键在于由tan0,sin4)=A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查正态分布的相关知识,考查考生的运算求解能力.解题的关键是熟练运用正态曲线的对称性.因为随机变量X服从正态分布,其正态分布密度曲线为函数f(x)=的图象,所以X的数学期望为2,故函数f(x)=的图象关于直线x=2对称,因为f(x)dx=,所以P(X4)=-,故选A. 6运行如图所示的程序框图,当输入x的值为5时,输出y的值恰好是,则处的关系式可以是A.y=x5B.y=5-xC.y=5xD.y=【答案】C【解析】本题考查考生对程序框图的理解与应用,考查考生的识图与
3、用图能力、运算求解能力.当x=5时,因为x0,所以x=x-2=3;当x=3时,因为x0,所以x=x-2=1;当x=1时,因为x0,所以x=x-2=-1;当x=-1时,y=,则处的关系式可以是y=5x. 7已知正项等差数列an单调递增,其前n项和为Sn,且a1+a2=(a3+a4+a5),若a1,a2,a3,a4,a5均为正整数,则数列an的前5项和S5可以是A.119B.120C.121D.122【答案】B【解析】本题考查等差数列的相关知识,涉及等差数列的通项公式与前n项和公式,考查考生的运算求解能力和简单的分析能力.设公差为d,由a1+a2=(a3+a4+a5),得2a1+d=(3a1+9d
4、),整理可得d=a1,若a1,a2,a3,a4,a5均为正整数,只需a1是2的倍数,则d是11的倍数,根据条件,若a1=2,则d=11,可得数列an的前5项和S5为52+11=120. 8已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为A.B.5C.3D.3【答案】D【解析】本题考查三视图与空间几何量的计算,重点考查考生的空间想象能力.准确还原出几何体的直观图是关键.由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,其中AD,AB,AG两两垂直,平面AEFG平面ABCE,BCAEGF,AB=AD=AG=BC=GF=3,DE=1,根据几何体的结构特征可得AC=AF=3,GC=BF=
5、3,GE=BE=5,BG=CF=3,AE=4,EF=,CE=,故该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为3. 9如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,若A,B,C,D四点共圆,则AC的长为A.5 kmB.6 kmC.7 kmD.8 km【答案】C【解析】本题考查解三角形的知识.根据A,B,C,D四点共圆,可得D+B=,再由余弦定理可得cos D=-,代入余弦定理可得AC的长.因为A,B,C,D四点共圆,所以D+B=,在ABC和ADC中,由余弦定理可得,82+52-285cos(-D)=
6、32+52-235cos D,cos D=-,可得AC2=32+52-235(-)=49,故AC的长为7 km. 10新学期开学之际,有A,B,C,D,E5名同学同时考入某校高一年级,已知该校高一年级共有6个班,则每个班最多有这5名同学中的2名同学的不同情况共有A.4 200种B.4 320种C.6 120种D.7 920种【答案】C【解析】本题考查排列组合在实际问题中的应用,考查考生的运算能力、分类讨论思想和思维的严谨性.“每个班最多有这5名同学中的2名同学”所包含的情况有三种:“这5名同学都不在同一个班”、“恰好有2名同学在同一个班,其他同学都不在同一个班”、“这5名同学中,有2名同学在同
7、一个班,另外2名同学在另外一个班,剩余1名同学在一个班”,要特别注意做到不重复、不遗漏.若这5名同学都不在同一个班,则有=720种不同的情况;若其中恰好有2名同学在同一个班,其他同学都不在同一个班,则不同的情况有=3 600种;若这5名同学中,有2名同学在同一个班,另外2名同学在另外一个班,剩余1名同学在一个班,则不同的情况有=1 800种.则每个班最多有这5名同学中的2名同学的不同情况共有720+3 600+1 800=6 120种. 11已知双曲线:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,=(0),其中A,B为双曲线右支上的两点.若在AF1B中,F1AB=90,|F1B|=|AB
8、|,则双曲线的离心率的平方的值为A.5+2B.5-2C.6-D.6+【答案】B【解析】本题考查双曲线的定义和简单的几何性质,考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力.先由已知条件分析出A、F2、B三点共线和AF1B是等腰直角三角形,再结合双曲线的定义得到关于a和c的方程,从而得到离心率的平方.=(0),故A、F2、B三点共线.在AF1B中,F1AB=90,|F1B|=|AB|,故AF1B是等腰直角三角形.设|AF2|=m,由|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=2a+|AF2|=2a+m,又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|,|BF2|=2a,又|BF1|
9、-|BF2|=2a,|BF1|=4a,依题意|BF1|=|AF1|,即4a=(2a+m),m=2(-1)a,在RtF1AF2中,|AF1|2+|AF2|2=4c2,即8a2+(2a-2a)2=4c2,即c2=5a2-2a2,e2=5-2,故选B. 12已知函数g(x)=aex-x+2a2-3能够取遍(0,+)内的所有实数,则实数a的取值范围是A.(-,eB.(-,1C.0,eD.0,1【答案】B【解析】本题考查导数与函数的单调性、最值,考查考生的数形结合思想、分类讨论思想以及运算能力、分析问题与解决问题的能力.因为g(x)=aex-1,当a0时,g(x)=aex-10时,由g(x)=aex-1
10、=0,可得x=-lna,当x-lna时,g(x)为单调递增函数,所以可得g(x)min=g(-lna)=lna+2a2-2,若要使得函数g(x)=aex-x+2a2-3能够取遍(0,+)内的所有实数,则应满足lna+2a2-20.设f(a)=lna+2a2-2,分析可以得到当a0时,f(a)为单调递增函数,且f(1)=0,所以00)的焦点为F,点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为.【答案】【解析】本题考查抛物线的定义、几何性质,利用基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识.先画出图象、作出辅助线,设|AF|=a,|BF
11、|=b,由抛物线的定义得2|MN|=a+b,由题意和余弦定理可得|AB|2=(a+b)2-ab,再根据基本不等式,求得|AB|2的取值范围,代入化简即可得到答案.如图,过A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P,设|AF|=a,|BF|=b,则由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,因为ab()2(当且仅当a=b时等号成立),所以(a+b)2-ab(a+b)2-()2=(a+b)2,即|AB|2
12、(a+b)2,所以=3,则,即所求的最小值是. 三、解答题：共8题17已知数列an满足a1=2,前n项和为Sn,若Sn=2(an-1)(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(log2an+1)2-(log2an)2,若cn=anbn,求cn的前n项和Tn.【答案】(1)由条件可知,当n2时,an=Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1,又a1=2,an是首项为2,公比为2的等比数列,an=2n.(2)由(1)可得bn=(n+1)2-n2=2n+1,则cn=(2n+1)2n,Tn=32+522+(2n+1)2n,2Tn=322+523+(2n+1)2n+1,-可
13、得-Tn=6+2(22+23+2n)-(2n+1)2n+1=6+2-(2n+1)2n+1=(-2n+1)2n+1-2,Tn=(2n-1)2n+1+2.【解析】本题考查等比数列的定义、通项公式与错位相减法求和等知识,考查考生的运算求解能力.(1)利用Sn与an的关系求解;(2)由数列cn的特征利用错位相减法求cn的前n项和Tn.【备注】数列类解答题主要考查数列的通项公式、前n项和以及求和的方法:裂项相消法、错位相减法等.因此有关数列的问题,在掌握数列的题型后,对数列的通项公式、前n项和公式要掌握好,尤其是等比数列的前n项和,一定要对公比进行讨论.18为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门
14、随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有40人,不超过100 km/h的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有20人,不超过100 km/h的有25人.(1)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人,求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率;(2)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X,求X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)平均车速不超过1
15、00 km/h的驾驶员有40人,从中随机抽取2人的方法总数为,记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A,则事件A所包含的基本事件数为,所以所求的概率P(A)=.(2)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为,故XB(3,).所以P(X=0)=()0()3=;P(X=1)=()()2=;P(X=2)=()2()=;P(X=3)=()3()0=.所以X的分布列为EX=0+1+2+3(或EX=3).【解析】本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望等,考查考生的运算求解能力和应用意识.(1)属于古典概型,利用组合数求基
16、本事件总数和所求的随机事件含有的基本事件个数后,使用古典概型的概率计算公式求解;(2)首先分析得到X服从二项分布,然后按照相关公式计算即可.【备注】离散型随机变量及其分布是高中概率与统计的核心内容,也是高考考查的重点,备考中要通过各类练习,熟练掌握其解法.19在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1是矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO侧面ABB1A1.(1)求证:BCAB1;(2)若OC=OA,求二面角D-BC-A的余弦值.【答案】(1)因为侧面ABB1A1是矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,所以AD=,在直角三角形ABB1中,tan
17、AB1B=,在直角三角形ABD中,tanABD=,所以AB1B=ABD.又BAB1+AB1B=90,所以BAB1+ABD=90,所以在三角形AOB中,BOA=90,即BDAB1.又CO侧面ABB1A1,AB1侧面ABB1A1,所以COAB1,又BDCO=O,所以AB1平面BCD.又BC平面BCD,所以BCAB1.(2)如图,以O为坐标原点,分别以OD、OB1、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(-,0,0),C(0,0,),D(,0,0),所以=(,0),=(0,),=(-,0,0),=(,0,),设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1平面
18、ABC知,n1,n1,即x+y=0,y+z=0,可得n1=(1,-)是平面ABC的一个法向量.容易得到平面BCD的一个法向量为n2=(0,1,0).设二面角D-BC-A的平面角为,由图易知其为锐角,则cos=|=,所以二面角D-BC-A的余弦值是.【解析】本题主要考查线线垂直的证明、二面角的求法、空间直角坐标系的应用,考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.(1)由线面垂直得线线垂直;(2)利用向量法求解.【备注】高考对立体几何的考查一般设置为两问,第(1)问通常考查空间直线、平面间的垂直或平行关系的证明,证明平行常和三角形的中位线或平行四边形有关,证明垂直的桥梁是线面垂直,要证线
19、线垂直或面面垂直常先证线面垂直;第(2)问通常为计算二面角、直线与平面所成的角等,处理方法多是建立空间直角坐标系,用空间向量来解决.20已知椭圆M:+=1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为,动直线y=x+m交椭圆M于不同的两点A,B,T(1,1).(1)求椭圆M的标准方程;(2)试问:TAB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由题意得,b=1,又a2=b2+c2,所以a=,c=1,椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由得,3x2+4mx+2m2-2=0.由题意得,=16m2-24(m2-1)0,即m2-30,所以-m0,f(x)0,f(
20、x)恒成立等价于对任意的x(0,+),g(x)0,g(x)e-2+1等价于1-x-xlnx0,h(x)单调递增;当x(e-2,+)时,h(x)0,(x)单调递增,(x)(0)=0,故当x(0,+)时,(x)=ex-(x+1)0,即1,所以1-x-xlnxe-2+10,f(x)恒成立.【解析】本题考查利用导数研究曲线在某点处切线的方程以及不等式恒成立问题等,考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力,运用构造法和不等式的传递性将不等式恒成立问题进行转化是解题的关键.(1)求出当k=2时,f(x)的导数,求得切线的斜率和切点坐标,由点斜式方程即可得到切线的方程;(2)由f(1)=0,可得k=
21、1,令g(x)=(x2+x)f(x),问题等价于对任意的x(0,+),g(x)0,解得R=1,故圆O的直径为2.(2)连接BD,因为AB为圆O的一条切线,故ABC=CDB,又A=A,故ABCADB,故.因为CD为圆O的直径,故CBD=90,设BC=k,BD=2k,故CD=k,故sin ABC=sin CDB=.【解析】本题考查切割线定理、三角形相似等知识,考查考生的运算能力和对平面几何的基础知识的掌握情况.(1)利用切割线定理列出等式,求解即可;(2)关键是证明三角形相似,从而得到对应线段的比例关系. 23已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
22、的极坐标方程为=4cos(+).(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C的形状;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为2,求实数m的取值范围.【答案】(1)由=4cos(+)可得=4(coscos-sinsin),即-4cos+4sin=0,所以2-4cos+4sin=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-4x+4y=0,即(x-2)2+(y+2)2=8,曲线C对应的图形是以C(2,-2)为圆心,以2为半径的圆.(2)l的参数方程化为普通方程可得x-y-m=0,由条件可知,圆C上的点到直线l的距离的最小值不大于2,即-22,所以04,解得-4m12,即实数m的取值范围是-4,1
23、2.【解析】本题考查将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程、将直线的参数方程转化为普通方程、点到直线的距离公式等知识,考查考生分析问题的能力及转化与化归思想的应用.【备注】求解坐标系与参数方程的试题,通常情况下是将参数方程转化为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程,将所要解决的问题统一到直角坐标系中进行处理,但在转化过程中必须注意以下两点:(1)参数的取值范围;(2)弄清曲线与直线的位置关系,采用数形结合的方法,解题将更加简捷.24已知函数f(x)=|x+a|(aR).(1)若a=1,解不等式f(x)+|x-3|2x;(2)若不等式f(x)+|x-1|3在R上恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)依题意,|x+1|+|x-3|2x.当x3时,原不等式化为x+1+x-32x,即-20恒成立.综上所述,不等式f(x)+|x-3|2x的解集为2,+).(2)f(x)+|x-1|3|x+a|+|x-1|3恒成立,由|x+a|+|x-1|a+1|可知,只需|a+1|3即可,故a2或a-4,即实数a的取值范围为a|a2或a-4.【解析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题,考查考生的运算能力及分类讨论思想的应用.【备注】解含绝对值不等式的指导思想是通过等价变形去掉绝对值符号,常用的方法是: 由定义分类讨论,如零点分段讨论法;利用绝对值不等式的性质;平方.
