1、20092013年高考真题备选题库第5章 数列第4节 数列求和考点一 等差数列与等比数列的综合1（2013江苏，16分）设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中 c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力由题设，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有
2、Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又cd
3、10，所以c0.2（2013浙江，14分）在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2) 若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1
4、|a2|a3|an|3（2013天津，14分）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*), 且2S2，S3,4S4成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)证明Sn(nN*)解：本题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明：Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小
5、，所以SnS1；当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.4. （2013陕西，12分）设Sn表示数列an的前n项和(1)若an为等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a11，q0，且对所有正整数n，有Sn.判断an是否为等比数列，并证明你的结论解：本题主要考查等差数列前n项和公式推导所用的倒序相加法，考查等比数列的证明方法和一般数列切入点的技巧，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法(1)法一：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，Sn.法二：设an的公差为d，则Sn
6、a1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比数列证明如下：Sn，an1Sn1Snqn.a11，q0，当n1时，有q，因此，an是首项为1且公比为q的等比数列5（2013重庆，13分）设数列an 满足：a11，an13an，nN.(1)求an的通项公式及前n项和Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解：本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和等基础知识，考查逻辑思维能力(1)由题
7、设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，Sn(3n1)(2)b1a23，b3a1a2a313913，b3b1102d，所以数列bn的公差d5，故T2020351 010.6(2009宁夏、海南，5分)等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4()A7B8C15 D16解析：4a1,2a2，a3成等差数列，4a24a1a3.an是等比数列，4a1q4a1a1q2，a11.q24q40，q2，S415.答案：C7（2011江苏，5分）设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小
8、值是_解析：设a2t，则1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案：8（2012山东，12分）已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解：(1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn.由T5105，a102a5，得到解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1，所以数列bm是首项为7公比为49的等比数列故Sm.9（2012浙江，14分）已知数列an的前n项
9、和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1，易知当n1时也满足通式an4n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.10(2010天津，14分)在数列an中
10、，a10，且对任意kN*，a2k1，a2k，a2k1成等差数列，其公差为2k.(1)证明：a4，a5，a6成等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)记Tn，证明：2nTn2(n2)解：(1)证明：由题设可知，a2a122，a3a224，a4a348，a5a4412，a6a5618.从而.所以a4，a5，a6成等比数列(2)由题设，可得a2k1a2k14k，kN*.所以a2k1a1(a2k1a2k1)(a2k1a2k3)(a3a1)4k4(k1)412k(k1)，kN*.由a10，得a2k12k(k1)，从而a2ka2k12k2k2.所以数列an的通项公式为an或写为an，nN*.(3)证明
11、：由(2)可知a2k12k(k1)，a2k2k2.以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n2m(mN*)若m1，则2n2.若m2，则2m2m2()2m2(m1)(1)2n.所以2n，从而2nTn2，n4,6,8，当n为奇数时，设n2m1(mN*)4m4m2n，所以2n，从而2nTn2，n3,5,7，.综合和可知，对任意n2，nN*，有2nTn2.11(2010北京，13分)已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和公式解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，所以解得a110，d2.所以an1
12、0(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以bn的前n项和公式为Sn4(13n)考点二 递推数列及其应用1（2013湖南，13分）设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an，
13、即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.2（2013广东，14分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2 ；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：本题主要考查通过“an与Sn法”将递推数列转化为等差数列及裂项求和法，意在考查考生运用
14、化归与转化思想解决问题的能力(1)证明：an0，令n1，有4S1a41，即4a1a41，a2.(2)当n2时，4Sna4n1,4Sn1a4(n1)1，两式相减得4anaa4，有a(an2)2，即an1an2，an从第2项起，是公差为2的等差数列，a5a232a26，a14a2122a224，又a2，a5，a14构成等比数列，有aa2a14，则(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)得a11，又an1an2(n2)an是首项为1，公差为2的等差数列，即an1(n1)22n1.(3)证明：由(2)得.3（2012新课标全国，5分）数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为
15、()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：不妨令a11，根据题意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以当n为奇数时，an1，当n为偶数时构成以a22为首项，以4为公差的等差数列所以前60项和为S603023041 830.答案：D4(2009福建，4分)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_解析：五位同学报数所构成的数列为1,1,2,
16、3,5,8,13,21，该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2,1,0，所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96，共5个数答案：55(2011广东，14分)设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.(1)由an联想到取倒数得，令cn，有cncn1，当b1时，cn为等差数列，当b1时，设cnk(cn1k)，展开对比得k，构造等比数列cn，求得cn后再求an；(2)当b1时，易验证，当b1时，先用
17、分析法将2anbn11转化为bn11，利用公式anbn(ab)(an1an2bbn1)，再转化为2nbn(bn11)(1bb2bn1)，然后将右边乘开，再利用基本不等式即可得证解：(1)a1b0，an，令cn，则cncn1，当b1时，cn1cn1，且c11cn是首项为1，公差为1的等差数列，cn1(n1)1n，于是cnn，这时an1；当b1时，cn(cn1)，且c1，cn是首项为，公比为的等比数列，cn()n1，由得an，an.(2)证明：由(1)得，当b1时，an1,2anbn1122成立，当b1时，an，2anbn11bn11，而1bn(1b)(1bb2bn1)，又b0，故只需证：2nbn(bn11)(1bb2bn1)，()而(bn11)(1bb2bn2bn1)(b2nb2n1bn1)(bn1bn2b1)(b2n1)(b2n1b)(bn1bn1)2bn2bn2bn2nbn，()式成立，原不等式成立
