1、浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高一数学下学期3月阶段性测试试题（含解析）本卷满分120分，考试时间90分钟一.选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分）1.等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：原式考点：三角恒等变换2.已知直角坐标平面内点，和向量，若，则实数的值为（ ）A. -1B. -2C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示直接得到关于的方程，解之即可.详解】，（3，3），则，即，故选：B.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.3.若A是的内角，满足，则A的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
2、析】将已知变形为两角和的正切公式形式，结合特殊角的三角函数值，直接计算.【详解】由题意：，又A是内角，所以A=故选：C.【点睛】本题考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题.4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 36B. 72C. 144D. 288【答案】B【解析】因为是等差数列，又，故选B.5.已知向量，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】判断各组所给向量是否共线，即可得出答案。【详解】解：对于A，向量与是不共线的两个向量，能作为基底。对于B，向量与是不共线的两个向量，能作为基底。对
3、于C，因为，所以与共线，不能作为一组基底对于D，向量与是不共线的两个向量，能作为基底。故选：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理与应用问题，属于基础题。6.已知的三边长成公差为2的等差数列，且其中一角为，则这个三角形的周长是（ ）A. 9B. 12C. 15D. 18【答案】C【解析】【分析】由已知可求最大角的值，设三边长为x，x+2，x+4，利用余弦定理即可解得边长，从而可求周长【详解】最大角为，且三边长成公差为2的等差数列，不妨设三边长为x，x+2，x+4，则由余弦定理可得：（舍），故周长为3+5+715故选：C【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属
4、于基础题7.在中，若这样的三角形有两个解，则边a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用三角形两解的充要条件求出结果【详解】在ABC中，若此三角形有两解必须满足的条件为： babsinA，即：，故选：C【点睛】本题考查的知识要点：三角形两解的充要条件的应用及相关的运算问题8.已知等差数列的前n项和为，取得最小值时n的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】由等差数列的通项公式可得，若Sn取得最小值时则且，解得n即可.【详解】，可得，且单调递增，若取得最小值，则且，n等于6，故选：A【点睛】本题考查等差数列的通项公式及单调性的应用，
5、考查了转化思想，属基础题9.一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）A. 5海里B. 海里C. 10海里D. 海里【答案】D【解析】【分析】根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论【详解】如图所示,COA=135,ACO=ACB=ABC=15,OAC=30，AB=10，AC=10.AOC中,由正弦定理可得，这艘船速度是每小时海里，故选D.【点睛】正弦定理是解三角形有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
6、（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10.已知向量，满足，与的夹角是，若对于一切实数x，恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由|x2|，可得，即0对一切实数x恒成立，可得0，解出即可【详解】|1，与的夹角为，|x2|，化为，即0，对一切实数x，|x2|恒成立，40，化为，解得故选：A【点睛】本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题二.填空题：（本题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分）11._，_.【答案】 (
7、1). (2). 【解析】【分析】直接利用二倍角公式以及诱导公式，特殊角的三角函数值，求出即可【详解】，.故答案为： 【点睛】本题考查二倍角公式以及诱导公式，考查计算能力12.已知，且，则实数_，向量在向量上的投影为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求出及的坐标，根据向量平行列方程解出；利用投影公式计算向量在向量上的投影即可【详解】（3，1），又，（+2）3(3+1)，解得又在上的投影为|cos故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，考查了向量平行的坐标表示，属于中档题13.若A是的内角，函数，则当_时，函数的最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解
8、析】【分析】先化简函数的解析式，利用余弦函数的定义域和值域求得cosA的范围，结合二次函数的性质，求得函数的最小值【详解】函数f（A）2cos2A2cosA1，0A，cosA(，故当cosA时，即当时，f（A）取得最小值为，故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题14.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=_，y=_【答案】；【解析】作，设，由解得故15.已知，为锐角，则的值为_.【答案】【解析】试题分析：依题意，所以，所以.考点：三角恒等变换16.在中，若，则的值是_.【答案】1【解析】【分析】由正弦定理可知，sin2BsinAsinC
9、，利用三角形的内角和，两角和与差的三角函数化简cos（AC）+cosB+cos2B，然后利用二倍角公式化简即可【详解】b2ac，利用正弦定理可得sin2BsinAsinCcos（AC）+cosB+cos2Bcos（AC）cos（A+C）+cos2B2sinAsinC+cos2B2sin2B+（12sin2B）1故答案为：1【点睛】本题考查三角函数的化简和正弦定理的运用，解题时要注意公式的合理选用，考查计算能力，属于中档题17.如图，在中，是边上一点，则【答案】【解析】【详解】由图及题意得，=()()=+=.三.解答题：（本题共4小题，18、19每题10分，20、21每题12分，共44分）18.
10、在中，内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，（1）求角A的大小；（2）若，且，求边长c.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理公式即可求出；（2）根据正弦定理和二倍角公式即可求出ab，再根据三角形的面积公式求出a，再根据余弦定理即可求出边长c【详解】（1）由，a2b2+c2bc，cosA，0A，A（2）根据正弦定理可知：，利用二倍角公式可知：由此可知sinAsinB，ab，C，SABCabsinCa2解得a2，由余弦定理可得c2b2+a22abcosC4+4222（）12，c2【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理三角形的面积公式和二倍角公式，考查了学生的运算能力，属于中档题
11、19.已知，是两个不共线的非零向量，且与的夹角是120，（1）求的大小；（2）记，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）且【解析】【分析】（1）由，展开后代入数量积公式求得答案（2）向量与的夹角为锐角可得，解得的范围，再根据与共线且方向相同时，求出对应的的值，进而得到的取值范围【详解】（1）（2）；若向量与的夹角为锐角，当向量与同向共线时：不妨令，得又与不共线，有符合.综上所述当实数且时，向量与的夹角为锐角.【点睛】本题考查了向量模的求法，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题20.已知a是实数，函数，对于任意，恒成立，（1）求a
12、的值；（2）已知函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若方程（m是常数），在上有两个不同的实数根，求这两个根的和.【答案】（1）（2）当，当，【解析】【分析】（1）由二倍角公式化简函数，根据可求a；（2）求出函数yg（x）的解析式，再将化简得到，作出函数ysin（2x）的图象，数形结合得答案【详解】（1）对于任意，得（2），令，可得对称轴为，作出的图像如图：有两个不同的实数根，则由图可得：当，当，【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查yAsin（x+）型函数的图象变换，函数图像的应用与性质，是中档题21.设等差数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求的最大项的值；（3）数列满足，问是否存在
13、正整数k，使得成等差数列？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）最大项的值为1（3）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设等差数列an的公差为d，首项为a1，由条件列得方程组，解可得d与a1，由等差数列通项公式可得答案；（2）直接利用的单调性，即可得出（3）结合（1）知要使b1，b2，bm成等差数列，可得2b2b1+bm，代入化简运算即可得出【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，由题意得，解得，数列的通项公式；（2）令，当时，且随n的增大而增大，即有；当时，；所以的最大项的值为1；（3）假设存在正整数，使得成等差数列，由得，从而，由得，所以，两边取倒数整理得：，所以，即，因为k、m均为正整数，所以，不能得出为整数，故无符合题意的解，所以不存在正整数k，使得成等差数列.【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式及数列的单调性，方程的解法，考查了分析问题解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
