1、4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用基础过关练题组一线性规划问题中线性目标函数的最值问题1.设x,y满足2x+y4,x-y-1,x-2y2,则z=x+y()A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值2.设变量x,y满足约束条件x-y+20,x-5y+100,x+y-80,则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为() A.3,-11B.-3,-11C.11,-3D.11,33.设变量x,y满足约束条件x+y3,x-y-1,2x-y3,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6B.7C.8D.234.在线性约束条件x+3y12,
2、x+y10,3x+y12下,求z=2x-y的最大值和最小值.5.已知实数x,y满足y2x,y-2x,x3.(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2)若目标函数为z=x-2y,求z的最小值.题组二线性规划中非线性目标函数的最值问题6.已知x,y满足约束条件x0,y0,x+y1,则(x+3)2+y2的最小值为()A.10B.22C.8D.107.若实数x,y满足x-y+10,x0,y2,则2y2x+1的取值范围是()A.43,4B.43,4C.2,4D.(2,48.若实数x,y满足y2,|x|-y+10,则z=x+yx-2的最小值为()A.-2B.-3C.-4D.-59.如果点P在平面区域2x-
3、y+20,x-2y+10,x+y-20上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为()A.5-1B.455-1C.22-1D.2-1题组三已知目标函数的最值求参数10.若x,y满足约束条件x+y1,x-y-1,2x-y2,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0D.(-2,4)11.设x,y满足约束条件2x-y-20,x-2y+20,x+y-20.若z=mx+y取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值是()A.-12B.12C.-2D.112.若实数x,y满足不等式组x+3y-30,2x-y-3
4、0,x-my+10,且z=x+y的最大值为9,则实数m=()A.-2B.-1C.1D.213.若满足条件x-y0,x+y-20,ya的整点(x,y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个,则整数a的值为()A.-3B.-2C.-1D.014.已知实数x,y满足不等式组x-y+20,x+y-40,2x-y-50,目标函数z=y-ax(aR).若目标函数取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是.15.已知z=2x+y,其中实数x,y满足yx,x+y2,xa,且z的最大值是最小值的4倍,求a的值.题组四线性规划的实际应用16.有5辆载重6吨的汽车,4辆载重4吨的汽车,要运送一批
5、货物,设需载重6吨的汽车x辆,载重4吨的汽车y辆,则完成这项运输任务的线性目标函数为()A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y17.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品.甲每件4元,乙每件7元.甲商品卖出去后每件可赚1元,乙商品卖出去后每件可赚1.8元.若要使赚的钱最多,则该商贩应分别购买甲、乙两种商品()A.7件,3件B.9件,2件C.4件,5件D.2件,6件18.某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100 g含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米食每100 g含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭
6、,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,则应如何配制盒饭,才既科学又费用最少?能力提升练一、选择题 1.()已知O为坐标原点,点M(3,1),若N(x,y)满足不等式组x1,y0,x+y4,则OMON的最大值为()A.6B.8C.10D.122.()设变量x,y满足约束条件x+2y2,2x+y4,4x-y-1,则目标函数z=3x-y的取值范围是()A.-32,6B.-32,-1C.-1,6D.-6,323.()已知实数x,y满足条件x0,y1,2x-2y+10,若目标函数z=mx-y(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值为()A.1B.12C.-12D.-14.()若
7、实数x,y满足不等式组x-20,y-10,x+2y-a0,目标函数t=x-2y的最大值为2,则实数a的值是()A.0B.1C.2D.35.()设关于x,y的不等式组2x-y+10,x+m0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是()A.-,43B.-,13C.-,-23D.-,-536.()当x,y满足条件|x|+|y|0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2二、填空题8.()若实数x,y满足x-y+10,x+y0,x0,则z=3x+2y的最小值是.9.()已知x,y满足约束条
8、件x1,x-y+10,2x-y-20,则x2+y2的最小值是.三、解答题10.()某研究所计划利用“神舟十一号”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载产品A,B,并根据该产品的研制成本、搭载费用、产品质量和预计收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如下表:因素产品A产品B备注研制成本、搭载费用之和/万元2030计划最大资金额300万元产品质量/千克105最大搭载质量110千克预计收益/万元8060试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大?最大收益是多少?11.()某公司用两种机器来生产某种产品,第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费;第二种机器每台需
9、花5万日元及人民币20元的维护费.每台第一种机器的年利润为9万日元,每台第二种机器的年利润为6万日元,但政府核准的外汇日元为135万日元,并且公司的总维护费不得超过1 800元,为了使年利润达到最大,两种机器各购买多少台?答案全解全析4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用基础过关练1.B画出可行域如图所示,作直线l:x+y=0,平行移动直线l,当过点(2,0)时,z取得最小值2,无最大值.2.A作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,z=3x-4y经过点A时z取得最小值,经过点B时z取得最大值.由x-y+2=0,x+y-8=0,解得x=3,y=5,即A(3,5).由x-5y+10=0,x+
10、y-8=0,解得x=5,y=3,即B(5,3).则z最大值=35-43=3,z最小值=33-45=-11.3.B画出约束条件x+y3,x-y-1,2x-y3表示的可行域,如图,z=2x+3y可化为y=-2x3+z3,易知当直线y=-2x3+z3过点B时目标函数取得最小值,由x+y=3,2x-y=3得x=2,y=1,所以点B的坐标为(2,1),所以zmin=4+3=7,故选B.4.解析如图,作出线性约束条件x+3y12,x+y10,3x+y12表示的可行域,直线x+3y=12与3x+y=12交于点A(3,3),直线x+y=10与x+3y=12交于点B(9,1),直线x+y=10与3x+y=12交
11、于点C(1,9).作一组与直线l0:2x-y=0平行的直线l:2x-y=z,即y=2x-z,直线l在y轴上的截距为-z.当l经过点B时,-z取得最小值,此时z最大,即zmax=29-1=17;当l经过点C时,-z取得最大值,此时z最小,即zmin=21-9=-7.zmax=17,zmin=-7.5.解析画出不等式组表示的可行域,如图所示.(1)由x=3,y=2x,解得x=3,y=6,即A(3,6),同理,得B(3,-6),所以SOAB=12123=18.(2)目标函数可化为y=12x-z2,平移直线y=12x,由图可知,当直线经过点A时,-z2的值最大,此时z的值最小,由(1)得点A的坐标为(
12、3,6),所以z的最小值为3-26=-9.6.D画出可行域,如图所示.(x+3)2+y2的几何意义是点A(-3,0)与可行域内的点(x,y)间距离的平方.显然线段AC长度最小,易求C(0,1),|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.7.A作出不等式组对应的可行域,如图所示,设z=2y2x+1=yx+12,则z的几何意义是可行域内的一点与点M-12,0的连线的斜率k.由x-y+1=0,y=2,解得x=1,y=2,所以点A的坐标为(1,2).由x=0,y=2,得点B的坐标为(0,2).由图易得kmin=kMA=43,kmax=kMB=4,所以2y2x+1的取值范围是43,4,故选A.8.B
13、作出不等式组对应的平面区域,如图.z=x+yx-2=x-2+y+2x-2=1+y+2x-2,设k=y+2x-2,则k的几何意义为平面区域内的点与定点D(2,-2)的连线的斜率.由图可知,直线AD的斜率最小,由y=2,x-y+1=0,得x=1,y=2,即A(1,2),此时直线AD的斜率k=2+21-2=-4,则zmin=1+k=1-4=-3,即z=x+yx-2的最小值为-3,故选B.9.A不等式组确定的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示.点P到Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,所以|PQ|min=12+(-2)2-1=5-1.10.B作出可行域如图所示,直线ax+2y
14、=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图可知-1-a22,即-4a0(否则平面区域不封闭,最大值不存在).结合图形可知,当直线z=x+y经过点A时,目标函数z=x+y取得最大值9,因为点A可视为两直线x+y=9,2x-y-3=0的交点,所以联立方程可得A(4,5).又点A在直线x-my+1=0上,所以代入直线方程可得m=1.13.C不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.当a=0时,只有4个整点,分别为(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当a=-1时,正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)这5个整点.故选C.14.答案(1,+)解析不等式组表
15、示的可行域如图中阴影部分所示,当直线y=ax+z的斜率大于1时,目标函数在点(1,3)处取得最大值,故a1.15.解析由题意知a0,解得m-23,故选C.6.B不等式|x|+|y|3.又知u=xy-3=1k,所以|u|=1|k|13,可得-13u13.故选B.7.B作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.由图易知直线z=2x+y过交点A时,z取得最小值.由x=1,y=a(x-3),得x=1,y=-2a,所以点A的坐标为(1,-2a),所以zmin=2-2a=1,所以a=12.二、填空题8.答案1解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设t=x+2y,则y=-12x+t2,z=3t.根
16、据函数z=3t的性质知,要求z=3t的最小值,只需求t的最小值即可.由图知,当x=0,y=0时,tmin=0,此时z=3x+2y取得最小值,且最小值为1.9.答案5解析画出满足条件的可行域,如图所示,x2+y2表示可行域内一点到原点的距离的平方,由图可知x2+y2的最小值是|AO|2,由x=1,x-y+1=0,解得x=1,y=2,即A点坐标为(1,2),所以|AO|2=(1-0)2+(2-0)2=5.三、解答题10.解析设搭载产品A x件,产品B y件,总预计收益为z万元,则z=80x+60y.由题意得20x+30y300,10x+5y110,xN,yN,即2x+3y30,2x+y22,xN,
17、yN,根据2x+3y30,2x+y22,x0,y0,作出可行域,如图,作出直线l0:80x+60y=0,并平移直线l0,由图得,当直线经过点M时,z取得最大值,由2x+3y=30,2x+y=22,解得x=9,y=4,即M(9,4),所以zmax=809+604=960,即搭载产品A 9件,产品B 4件,可使总预计收益达到最大,最大收益是960万元.11.解析设第一种机器购买x台,第二种机器购买y台,总的年利润为z万日元,则3x+5y135,50x+20y1 800,x0,y0,目标函数为z=9x+6y.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线l0:9x+6y=0,并平移.由图可知,当直线z=9x+6y经过点M63019,13519,即到达l1的位置时,z取得最大值,但此问题中x,y必须均为自然数,故进行调整,调整到与M邻近的整数点(33,7),此时z=9x+6y取得最大值,即当第一种机器购买33台,第二种机器购买7台时,获得的年利润最大.