1、第二章函数3函数的单调性第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一函数最大(小)值的求法1.(2021湖南娄底一中高一上期中)函数f(x)=x2+x在区间-1,1上的最小值是()A.2 B.0C.14 D.-142.函数f(x)=2x+6,x1,2,x+7,x-1,1),则f(x)的最大值与最小值分别为()A.10,6B.10,8C.8,6 D.以上都不对3.若函数y=f(x),x-2,2的图像如图所示,则该函数的最大值、最小值分别为()A.f32, f-32B.f(0), f32C.f(0), f-32D.f(0), f(2)4.函数f(x)=x+2x-1()A.有最小值12,无最大值B.有
2、最大值12,无最小值C.有最小值12,有最大值2D.无最大值,也无最小值5.(2021河北邢台高一上期中联考)已知函数f(x)=3x-11-x,其定义域是-4,-2,则()A.f(x)有最大值-73,最小值-135B.f(x)有最大值-73,无最小值C.f(x)有最大值-135,最小值-73D.f(x)有最小值-135,无最大值题组二函数最大(小)值的综合运用6.下列说法正确的是()A.若函数f(x)的值域为a,b,则f(x)min=a, f(x)max=bB.若f(x)min=a, f(x)max=b,则函数f(x)的值域为a,bC.若f(x)min=a,则直线y=a不一定与f(x)的图像有
3、交点D.若f(x)min=a,则直线y=a一定与f(x)的图像有且仅有一个交点7.若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2 B.-2C.2或-2D.08.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.9.函数y=-x2+6x+9在区间a,b(ab400),其中x是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)题组三函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用12.若不等式-x+a+10对一切x0,12成立,则a的最
4、小值为()A.0 B.-2C.-52 D.-1213.(2021河北定州二中高一上11月月考)当1x3时,关于x的不等式ax2+x-10)在区间0,ba上单调递减,在区间ba,+上单调递增.16.已知函数f(x)=x-1x+2,x3,5.(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)若不等式f(x)a在3,5上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若不等式f(x)a在3,5上有解,求实数a的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2019湖北华中师范大学第一附属中学高一上月考,)函数y=1-x-3+x的最大值为M,最小值为N,则MN的值为()A.2 B.1C.-1 D.22.(2021湖北鄂西北五校高
5、一上期中联考,)已知函数f(x)=(a-1)x+2a,x0,x2-2x,x0有最小值,则a的取值范围是()A.-12,1B.-12,1C.-12,1D.-12,13.()若函数y=f(x)的值域是12,3,则函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是()A.12,3B.2,103C.52,103D.3,1034.(2019湖南长沙南雅中学高一上第一次检测,)已知f(x)=minx2-2x,6-x,x,则f(x)的值域是()A.(-,3) B.(-,3 C.0,3D.3,+)5.()定义新运算:当ab时,ab=a;当ab时,ab=b2.若函数f(x)=(1x)x-(2x),x-2,2,则f(x)
6、的最大值等于()A.-1 B.1 C.6 D.126.(2019广东潮阳实验学校高一上第一次段考,)若关于x的不等式|x-4|+|x+3|0.若f(0)是f(x)的最大值,则a的取值范围为()A.4,+) B.2,+) C.1,+) D.1,2二、填空题8.(2021福建厦门一中高一上期中,)函数f(x)=x+21-x的最大值为.9.()若函数f(x)=x2-2x+3-c的最小值为2 017,则f(x+2 017)的最小值是.10.(2019河北辛集中学高一上第一次月考,)已知函数f(x)=x2-4|x|+1,若f(x)在区间a,2a+1上的最大值为1,则a的取值范围为.三、解答题11.(20
7、19湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)已知函数f(x)=x2+1,g(x)=4x+1的定义域都是集合A,函数f(x)和g(x)的值域分别为S和T.(1)若A=1,2,求ST;(2)若A=0,m,且S=T,求实数m的值;(3)若对于A中的每一个x的值,都有f(x)=g(x),求集合A.12.(2020广东实验中学高一上期中,)已知函数f(x)=x+1x,x-2,-1),-2,x-1,12,x-1x,x12,2.(1)求f(x)的值域;(2)设函数g(x)=ax-2,x-2,2,若对于任意x1-2,2,总存在x0-2,2,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析第二章函数
8、3函数的单调性第2课时函数的最大(小)值基础过关练1.D2.A3.C4.A5.A6.A7.C12.D13.B1.D因为f(x)=x2+x的图像开口向上,对称轴为直线x=-12-1,1,所以f(x)min=f-12=14-12=-14.故选D.2.A作出f(x)的图像如图所示:由图像知,当x=-1时, f(x)min=f(-1)=6;当x=2时, f(x)max=f(2)=10,即f(x)的最大值为10,最小值为6,故选A.3.C由题图可得,函数最大值对应图像中的最高点的纵坐标f(0),同理,最小值对应f-32.4.Af(x)=x+2x-1在定义域12,+上是增函数,f(x)f12=12,即函数
9、的最小值为12,无最大值,故选A.5.A函数f(x)=3x-11-x=-3+21-x,因为x-4,-2,所以-x2,4,所以1-x3,5,所以21-x25,23,所以-3+21-x-135,-73,所以f(x)-135,-73,所以f(x)有最小值-135,最大值-73.故选A.6.A函数f(x)的值域为a,b,则f(x)min=a,f(x)max=b,A对;f(x)min=a, f(x)max=b,区间a,b上的某些元素可能不是函数值,所以a,b不一定是值域,B错;若f(x)min=a,由定义知一定存在x0使f(x0)=a,即f(x)的图像与直线y=a一定有交点,但不一定唯一,C,D都错.7
10、.C由题意知a0,当a0时,函数y=ax+1在1,2上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a0时,函数y=ax+1在1,2上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上可知,a=2.8.答案20解析设矩形花园边长为x的边的邻边长为y m,则x40=40-y40,即y=40-x,由此可知,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,所以当x=20时,面积最大.9.答案-2;0解析已知y=-x2+6x+9,整理,得y=-(x-3)2+18,函数图像开口向下,对称轴为直线x=3.ab0),由已知得f(-1)=-3,f(2)=3,即-
11、a+b=-3,2a+b=3,解得a=2,b=-1,所以f(x)的解析式为f(x)=2x-1(-1x2).(2)由(1)得, ff(x)=f(2x-1)=2(2x-1)-1=4x-3.由f(x)的定义域为-1,2,得-12x-12,即0x32,所以ff(x)的定义域为0,32.11.解析(1)月产量为x台,则总成本为(20 000+100x)元,从而f(x)=R(x)-(20 000+100x)=-12x2+300x-20000(0x400),60000-100x(x400).(2)由(1)可知,当0x400时, f(x)=-12(x-300)2+25 000,当x=300时, f(x)max=
12、25 000;当x400时, f(x)=60 000-100x,是减函数,f(x)60 000-10040025 000,当x=300时, f(x)max=25 000,故当月产量为300时,公司所获利润最大,最大利润为25 000元.12.D设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+10对一切x0,12成立可得,只需满足f(x)min0即可.因为f(x)在0,12上是减函数,所以当x0,12时, f(x)min=a+12,所以a+120,即a-12,所以amin=-12,故选D.13.B当1x3时,由ax2+x-10恒成立可得,a1x2-1x恒成立,令f(x)=1x2-1x=1x-122-
13、14,则当x=2时,f(x)min=-14,所以a-14,故选B.14.答案(-,043,+解析因为1-x(1-x)=x2-x+1=x-122+3434,所以011-x(1-x)43,故f(x)的值域为0,43.又方程f(x)=a无解,所以a不在函数f(x)的值域内,故a的取值范围是(-,043,+.15.信息提取P=x2600+x300+12(0x20);Q=Pt.数学建模本题以锂电池充电为背景,构建函数模型,利用函数的单调性求相应函数的最值,从而解决生活中的最优化问题.解析由题意知,充电时间t=20x,Q=Pt=x2600+x300+1220x=x30+10x+115,根据参考结论可知:当
14、x(0,103)时,Q单调递减;当x(103,20)时,Q单调递增.当x=103时,Q取得最小值,最小值为233+115.16.解析(1)f(x)在3,5上为增函数.证明:任取x1,x23,5且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-1x1+2-x2-1x2+2=3(x1-x2)(x1+2)(x2+2).3x1x25,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)a在3,5上恒成立知,f(x)mina,由(1)知, f(x)在3,5上为增函数,所以f(x)min=f(3)=25,所以25a,故实数a的取值范围是-,25.(3)由不等式f(x)a在3,5上有解知,f(x)maxa,由(1
15、)知, f(x)在3,5上为增函数,所以f(x)max=f(5)=47,所以47a,故实数a的取值范围是-,47.能力提升练1.C2.C3.B4.B5.C6.A7.B一、选择题1.C由y=1-x-3+x有意义,得1-x0,3+x0,解得-3x1,因此y=1-x-3+x的定义域为-3,1,又函数y=1-x-3+x在-3,1上单调递减,M=ymax=4-0=2,N=ymin=0-4=-2,因此,MN=2-2=-1,故选C.2.C如图所示:根据题意,得a-10,2a-1或a-1=0,解得-12a1或a=1,故a-12,1,故选C.3.B令t=f(x),则t12,3,易知y=t+1t在12,1上单调递
16、减,在1,3上单调递增,所以当t=1,即f(x)=1时,F(x)有最小值2,又当f(x)=12时,F(x)=52;当f(x)=3时,F(x)=103,且52103,所以F(x)的最大值为103,所以函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是2,103.故选B.4.B在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2-2x,y=6-x,y=x的图像,由f(x)=minx2-2x,6-x,x知,对任意xR, f(x)取三个函数值中最小的,因此f(x)的图像如图所示(实线部分),所以可得f(x)的值域为(-,3.5.C由题意知,当-2x1时, f(x)=x-2;当1x2时, f(x)=x3-2,又f(x)=x
17、-2, f(x)=x3-2在其定义域上都为增函数,且f(1)=-1, f(2)=23-2=6,f(x)的最大值为6.6.A设f(x)=|x-4|+|x+3|,则f(x)=-2x+1,x4,作出f(x)的图像如图所示.由图像知, f(x)min=7,又f(x)a有实数解,因此f(x)mina,即70.当x0时, f(x)=-(x-a)2+a2的图像开口向下,对称轴为直线x=a, f(0)=0;当x0时,f(x)=-x2+2x+1-a的图像开口向下,对称轴为直线x=1,此时f(x)max=f(1)=2-a.若使得f(0)是f(x)的最大值,则满足a0,2-a0,解得a2,故选B.二、填空题8.答案
18、2解析设t=1-x(t0),则x=1-t2,所以原函数可化为y=-t2+2t+1=-(t-1)2+2(t0),由二次函数的性质,得当t=1时,函数取最大值2.9.答案2 017解析函数f(x+2 017)的图像可由函数f(x)的图像向左平移2 017个单位长度得到,因此两函数的最小值相同,均为2 017,故f(x+2 017)的最小值是2 017.10.答案-12,032解析f(x)=x2-4|x|+1=x2-4x+1,x0,x2+4x+1,xa,得a-1,结合图像知,当-10时,2a+1=4,解得a=32.综上可得,a的取值范围是-12,032.三、解答题11.解析(1)若A=1,2,则函数
19、f(x)=x2+1的值域S=2,5,g(x)=4x+1的值域T=5,9,ST=5.(2)若A=0,m,则S=1,m2+1,T=1,4m+1,由S=T,得m2+1=4m+1,解得m=4或m=0(舍去).(3)若对于A中的每一个x的值,都有f(x)=g(x),即x2+1=4x+1,x2=4x,解得x=4或x=0,满足题意的集合A是0或4或0,4.12.解析(1)任取x1,x2-2,-1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)1-1x1x2.因为-2x1x2-1,所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0时,g(x)在-2,2上递增,此时,值域B为-2a-2,2a-2,依题意得-2a-2-52,2a-232,解得a74;当a0时,g(x)在-2,2上递减,此时,值域B为2a-2,-2a-2,依题意得2a-2-52,-2a-232,解得a-74;当a=0时,不符合题意.综上,a的取值范围是-,-7474,+.