1、一 二维形式的柯西不等式知识梳理 1.维形式的柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)_,当且仅当_时,等号成立.二维形式的柯西不等式的推论：(a+b)(c+d)_ (a,b,c,d为非负实数);_ (a,b,c,dR);_ (a,b,c,dR). 2.柯西不等式的向量形式 设,是两个向量，则|_,当且仅当是_，或存在实数k，使=k时，等号成立. 3.二维形式的三角不等式_(x1,y1,x2,y2R) 推论：_,(x1,x2,x3,y1,y2,y3R).知识导学 本节学习的是经典不等式中的又一个（均值不等式已学过）柯西不等式，而二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单
2、形式.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求. 柯西不等式与均值不等式作对比,柯西不等式中的字母、数较多,不容易记忆,这就要求认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程,从数与形两个方面来理解和记忆.对等号“=”取到的条件要从推导过程中来理解.疑难突破 1.对柯西不等式的理解 柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)(ad+bc)2
3、,谁与谁组合、联系,要有一定的认识. “二维”是由向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量：横纵坐标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系. 2.“=”取到的条件 柯西不等式取“=”的条件,也不易记住,我们可以多方面联系来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2，取“=”的条件是“ad=bc”,有点像a,b,c,d成等比时，ad=bc的结论,a,b,c,d的顺序不等式中是对应排列顺序的,柯西不等式的向量形式中|，取等号“=”的条件是=0或存在实数k,使=k.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆.典题精讲【例1】 解方程.思路分析：利用二维形式的柯西
4、不等式把y=变形后求最值，取“=”号的x值即为要求的方程的根，即是此时的最值.解：15=()2()2+22()2+()2=6(2x+1-2x)=6=15.其中等号成立的充要条件是,解得x=. 绿色通道：利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2，取“=”的条件是ad=bc.因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”，否则容易出错.【变式训练】 求函数f(x)=的最大值及此时的x值.思路分析：利用二维形式的柯西不等式，可以先平方，再开方.变形的目的是为了能利用柯西不等式.解：由柯西不等式，得（）212+
5、12()2+()2=2(x-6+12-x)=12,即.故当=,即x=9时，函数f(x)取得最大值.【例2】 设a,bR+(i=1,2,n)，且a+b=2.求证：2.思路分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值.因而需出现（a2+b2)(c2+d2)结构.把视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是（2-a）+(2-b).证明：根据柯西不等式，有(2-a)+(2-b)()=()2+()2()2+()2(+)2=(a+b)2=4.=2.原不等式成立. 绿色通道：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形.这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分
6、析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.【变式训练】 已知abc,求证:.思路分析：原不等式可变形为(a-c)()4.又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式即可.证明：(a-c)()=(a-b)+(b-c)=()2+()2()2+()2(+)2=4.原不等式成立.问题探究问题：两批货物需要从A城市运往C城市，途中要经过B城市中转，从A城市到B城市是公路运输，两批货物的每吨运价相同，从B城市运往C城市需经航运，两批货物的每吨运价也相同，问总花费最少是多少？导思：可分别设两批货物分别为x吨、y吨.从A到B每吨运价是a，从B到C每吨运价是b，求(x+y)(a+b)的最小值即可.探究：设两批货物分别为x,y吨，从A运到B运费每吨是a，从B到C每吨是b.则(x+y)(a+b)=()2+()2()2+()2()2()2也就是总花费最少的值.