1、3.2.3直线的一般式方程基础过关练题组一直线的一般式方程及与其他形式的转化与应用1.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和第二、四象限,则有()A.C=0且B0B.C=0且B0,A0C.C=0且AB02.已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),点P(x0,y0)在l上,则l的方程可化为()A.A(x+x0)+B(y+y0)+C=0B.A(x+x0)+B(y+y0)=0C.A(x-x0)+B(y-y0)+C=0D.A(x-x0)+B(y-y0)=03.(2021河南豫南九校高一期末)过点A(-1,1)的直线l的倾斜角是直线l1:3x-y+1=0的倾斜角的2倍,则直线l的
2、方程是()A.3x-y+3+1=0B.3x+y+3-1=0C.x-3y+1+3=0D.x+3y+1-3=04.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45,则m的值为()A.-2B.2C.-3D.35.若ac0,bc0,则直线ax+by+c=0可能是()6.直线ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.12abB.12|ab|C.12abD.12|ab|7.(2020西南大学附属中学高一期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且直线ax+by+1=0在y轴上的截距为13,则a+b的值为()A.-7B.-1C.1D.78.(2021
3、山东滨州高二上期末)已知直线(2+1)x-y-2(+1)=0(R)恒过定点M,则点M的坐标为()A.(-2,2)B.(-2,-2)C.(2,-2)D.(2,2)9.若直线mx+3y-5=0经过点A(-1,-2),B(3,4)连线的中点,则m=.10.若直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45,则实数a的取值范围是.11.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的倾斜角为45.题组二一般式形式下直线的平行与垂直12.(2021江西上饶高一期末)过点(-1,-3)且平行于直线x-2y+
4、1=0的直线方程为()A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0C.x-2y-5=0D.2x+y-5=013.(2020安徽六安高二上期末)已知直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A.0B.-4C.24D.-2214.已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为.15.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0.(1)若这两条直线垂直,求k的值;(2)若这两条直线平行,求k的值能力提升练一、选择题1.(2021广东肇庆高二上期末,)已知直线l:3
5、x-y+1=0与y轴的交点为A,将直线l绕着点A逆时针旋转90得直线l,则直线l的方程为()A.x+3y+3=0B.x+3y-1=0C.x+3y-3=0D.3x+y-1=02.(2021陕西西安中学高一期末,)两条直线l1:ax+2y-1=0,l2:3x+(a+1)y+1=0互相平行,则实数a的值是()A.1B.2C.3D.43.()已知直线l1:ax-y-2=0和直线l2:(a+2)x-y+1=0,若l1l2,则a的值为()A.2B.1C.0D.-14.()已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,10a,则直线AB的方程为()A.y=-34x+
6、5B.y=34x-5C.y=34x+5D.y=-34x-55.(2021浙江台州高二月考,)若直线ax+by+c=0只经过第一、二象限,则a,b,c应满足()A.b=0且ab0C.a=0且bc06.()已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0D.x+2y+1=07.()已知两条不重合的直线l1,l2在y轴上的截距都是b(b0),在x轴上的截距的绝对值都是a,则l1,l2与x轴围成的三角形的面积为()A.2abB.abC.a|b|D.08
7、.(2021江苏无锡高三上期末,)若方程x+y-6x+y+3k=0仅表示一条直线,则实数k的取值范围是()A.(-,3B.(-,0)或k=3C.k=3D.(-,0或k=3二、填空题9.()已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是x2+y=1,则实数m的值是.10.()将直线l1:y=3x+3绕其与x轴的交点逆时针旋转90后得到直线l2,则l2在y轴上的截距为.三、解答题11.(2020江西南昌高二期中,)已知直线l过点(-2,1).(1)若直线l不经过第四象限,求直线l的斜率k的取值范围;(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,AOB的面积为S,其中
8、O为坐标原点,求S的最小值,并求此时直线l的一般式方程.12.()在平面直角坐标系中,矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列,且点O,P,Q的坐标分别是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),其中t0.(1)求顶点R的坐标;(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t).3.2.3直线的一般式方程基础过关练1.D2.D3.B4.D5.C6.D7.A8.D12.C13.B1.D因为直线l过原点,所以C=0.又直线l过第二、四象限,所以-AB0.2.D因为点P(x0,y0)在直线l上,所以Ax0+By0+C=0,所以C=-Ax0-By0,代入Ax+By+C=0可得Ax+By-Ax0-
9、By0=0,所以A(x-x0)+B(y-y0)=0.故选D.3.B由题可知直线l1的斜率为3,故其倾斜角为60,所以直线l的倾斜角为120,斜率为tan 120=-3,所以直线l的方程是y-1=-3(x+1),即3x+y+3-1=0.故选B.4.D由题意可得m2-40且2m2-5m+2m2-4=1,解得m=3.经检验m=3满足题意,m=3.5.C由题意知,直线方程可化为y=-abx-cb,ac0,bc0,ab0,-ab1或-aa+10,解得-1a-12或a0.综上所述,实数a的取值范围是-,-12(0,+).11.解析(1)由题意得m2-2m-30,2m-6m2-2m-3=-3,解得m=-53
10、.故当m=-53时,直线l在x轴上的截距为-3.(2)由题意得2m2+m-10,-m2-2m-32m2+m-1=1,解得m=43.故当m=43时,直线l的倾斜角为45.12.C由题意可设所求直线的方程为x-2y+c=0(c1),因为直线过点(-1,-3),所以-1-2(-3)+c=0,解得c=-5,故所求直线的方程为x-2y-5=0.故选C.13.B由直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0互相垂直可得-a425=-1,解得a=10,所以直线ax+4y-2=0即为5x+2y-1=0,将点(1,c)代入上式可得5+2c-1=0,解得c=-2,将点(1,-2)代入方程2x-5y+b=0,得2
11、-5(-2)+b=0,解得b=-12,所以a+b+c=10-12-2=-4.故选B.14.答案x-y+1=0解析当线段AB最短时,ABl,所以kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式方程为x-y+1=0.15.解析(1)根据题意,得(k-3)2(k-3)+(4-k)(-2)=0,解得k=552.若这两条直线垂直,则k=552.(2)根据题意,得(k-3)(-2)-2(k-3)(4-k)=0,解得k=3或k=5.经检验,均符合题意.若这两条直线平行,则k=3或k=5.能力提升练1.C2.B3.D4.C5.C6.A7.C8.B一、选择题1.C易知A(0,1),根据题意,ll,可设直线
12、l的方程为x+3y+m=0,把点A的坐标代入得m=-3,所以直线l的方程为x+3y-3=0.故选C.2.B因为两条直线l1:ax+2y-1=0,l2:3x+(a+1)y+1=0互相平行,所以a(a+1)-23=0,a-(-1)30,解得a=2.故选B.3.D当l1l2时,a(a+2)+1=0,即a2+2a+1=(a+1)2=0,a=-1.4.C由题意可得a=2,所以P(0,5).设A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点坐标公式得x0-2y0=0,2x0+y0=10,解得x0=4,y0=2,所以A(4,8),B(-4,2).所以直线AB的方程是y-82-8=x-4-4-4,即y=34
13、x+5.故选C.5.C若直线ax+by+c=0只经过第一、二象限,则直线必为y=m,m0的形式,故a=0,且y=-cb0,即a=0,且bc0,02-60+3k0,解得k0或k=3.关键点拨将x+y看成一个整体,如果x+y的值是唯一的,说明方程仅表示一条直线,故用换元法解决,然后进行分类讨论,从而求出k的取值范围.二、填空题9.答案3解析由中点坐标公式,得线段MN的中点坐标是1+m2,0.又点1+m2,0在线段MN的垂直平分线上,所以1+m4+0=1,所以m=3.10.答案-33解析易知l1的倾斜角为60,所以l2的倾斜角为90+60=150,又由题意知l2过点(-1,0),所以l2的方程为y-
14、0=tan 150(x+1),即y=-33x-33,令x=0,得y=-33,从而可知l2在y轴上的截距为-33.三、解答题11.解析(1)当直线l的斜率k=0时,直线为y=1,符合题意,当k0时,直线l的方程为y-1=k(x+2),直线在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,要使直线l不经过第四象限,则有-1+2kk0,解得k0.综上,直线l的斜率k的取值范围是0,+).(2)易知直线l的斜率一定存在.设直线l的方程为y-1=m(x+2),由题意可知m0,则A-1+2mm,0,B(0,1+2m),由题意得-1+2mm0,解得m0.S=12|OA|OB|=12-1+2mm|1+2
15、m|=12(1+2m)2m=124m+1m+4=122m-1m2+84当且仅当2m=1m,即m=12时取“=”,故当m=12时,S取得最小值且Smin=4,此时直线l的一般式方程为x-2y+4=0.12.解析(1)设顶点R的坐标为(x,y).由题意知kOP=t-01-0=t,kPQ=2+t-t1-2t-1=-1t.易知OPQR,PQOR,所以t=y-2-tx-1+2t,-1t=y-0x-0,解得x=-2t,y=2,即点R的坐标为(-2t,2).(2)S矩形OPQR=|OP|OR|=2(1+t2).如图1,当1-2t0,即0t12时,设线段RQ与y轴交于点M,易知直线RQ的方程为y-2=t(x+2t),则点M的坐标为(0,2+2t2),所以SOMR=12|OM|xR|=2t(1+t2),所以S(t)=S矩形OPQR-SOMR=2(1-t)(1+t2).如图2,当1-2t12时,设线段QP与y轴交于点N,易知直线QP的方程为y-t=-1t(x-1),则点N的坐标是0,t+1t,所以S(t)=SOPN=12|ON|xP=1+t22t.综上,S(t)=2(1-t)(1+t2),012.
