1、数学人教B必修1第一章1.1.2集合的表示方法1能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体问题2理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等1列举法如果一个集合是_，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在_内表示这个集合这种表示集合的方法叫做列举法(1)用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间的前后顺序，如a，b与b，a表示同一个集合(2)元素与元素之间必须用“，”隔开(3)集合中的元素不能重复(4)如果构成集合的元素具有明显的规律，也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚，如N1,2,3,4,5,6，【做一做
2、11】用列举法表示不超过10的非负偶数集为_【做一做12】方程x22 011x2 0120的解组成的集合为_2描述法一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都_性质p(x)，而不属于集合A的元素都_性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个_于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为_，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称_(1)列举法描述法(2)描述法的形式：描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言例如，表示由直线yx上所有的点组成的集合，可用三种形式表示为：文字语言形式：直线yx上所有的点组成的集合；
3、符号语言形式：(x，y)|yx；图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线yx(略)(3)使用描述法表示集合时要注意以下六点：写清元素符号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用“且”“或”；所有描述的内容都要写在集合符号内；用于描述的语句力求简明、准确【做一做21】已知集合A0,1,2,3,4，用描述法表示该集合为_(答案不唯一，写一个即可)【做一做22】集合(x，y)|y2x1表示()A方程y2x1B点(x，y)C平面直角坐标系中的所有点组成的集合D函数y2x1的图象上的所有点组成的集合一、用描述法表示集合时，要明确集合的代表元素剖析：描述法是将所给集合中全
4、部元素的共同特征性质用文字或符号语言描述出来的方法，它反映了集合元素的特征，在分析相关集合的问题时，一定要分清集合中代表元素的含义例如，集合Dy|yx22x3y|y(x1)22y|y2，该集合的全部元素的共同特征性质是大于或等于2的实数，所以Dy|yx22x3与Ex|x2为同一集合又如，集合F，它的代表元素是x，该集合中x满足的条件是x0，所以该集合与Gy|yR且y0为同一集合再如，集合Ax|yx21，By|yx21与C(x，y)|yx21不是相同的集合这是因为集合A的代表元素是x，且xR；集合B的代表元素是y，且y1；集合C的代表元素是(x，y)，且(x，y)表示平面直角坐标系内抛物线yx2
5、1上的点，所以它们是互不相同的集合还有三角形实际上是x|x是三角形的简写，千万别理解成由三个汉字组成的集合，三角形的集合不要写成所有三角形，因为本身就有“所有”的含义所以说，用描述法表示的集合，要抓住元素进行分析，看清集合的代表元素应具有哪些特征性质，从而准确理解和把握集合的内涵，分析集合是由哪些元素所组成的，避免错误的发生二、教材中的“思考与讨论”1哪些性质可作为集合1,1的特征性质？剖析：集合1,1是只含有元素1和1的集合因此，能表示出元素1,1的方程、式子等都可以作为它的特征性质如，x21或|x|1或(x1)(x1)0等，本题也说明了表达同一个集合的特征性质并不是唯一的2平行四边形的哪些
6、性质，可用来描述所有平行四边形构成的集合？剖析：在初中，我们学习了平行四边形的判定定理，即平行四边形所具有的特征性质：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形因此，平行四边形ABCD的特征性质可以写成：ABCD且ADBC，或ABCD等题型一 用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)自然数中五个最小的完全平方数；(2)x|(x1)2(x2)0；(3).分析：(1)首先明确自然数中完全平方数均为n2(nN)的形式；(2)1是方程的二重根，要考虑到集合元素的互异性；(3)方程组的解集是点集反思：第(2)小题中1是方程的二重根，把方程(x1)2(x2
7、)0的解集写成1,1,2是不对的，这是因为集合的元素是互异的第(3)小题中集合的代表元素是(x，y)，故不能写成3,2，也不能写成x3，y2实际上，集合(3,2)只有一个元素题型二 用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)被3除余2的正整数的集合；(2)使有意义的实数x的集合；(3)平面直角坐标系内，不在二、四象限的点的集合；(4)平面直角坐标系内，两坐标轴上的点集分析：(1)中x3k2(kN)可作为集合的一个特征性质；(2)中要使表达式有意义，则x23x20；(3)(4)中注意集合中的元素是点反思：认识用特征性质描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式
8、；二要看元素满足什么特征对符号语言所表达含义的理解在数学中的要求是很高的，要逐步提高对符号语言的认识题型三 列举法和描述法的灵活运用【例3】选择适当的方法表示下列集合：(1)x21的一次因式组成的集合；(2)“welcome to Beijing”中的所有字母组成的集合；(3)平面直角坐标系内第一、三象限角平分线上的点的集合；(4)以A为圆心，r为半径的圆上的所有点组成的集合分析：(1)由于x21的一次因式为x1和x1，故可以用列举法表示为x1，x1；(2)由于“welcome to Beijing”中包括的字母有w，e，l，c，o，m，t，B，i，j，n，g，共12个元素，故可以用列举法表示
9、为w，e，l，c，o，m，t，B，i，j，n，g；(3)第一、三象限角平分线对应直线yx；(4)对于以A为圆心，r为半径的圆上的点都具有一个共同的特征：到圆心的距离都等于半径，设点P为圆上的任意一点，故可以用描述法表示为P|PA|r反思：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素所满足的特征性质；三要根据元素个数来选择恰当的方法表示集合题型四 易错辨析【例4】已知集合Ax|x2a，aZ，Bx|x2a1，aZ，Cx|x4a1，aZ若mA，nB，则有()AmnABmnBCmnCDmn不属于A，B，C中的任意一个错解：C反思：在分析集合中元素的关系时，一定要注意各自的独立性，并注
10、意用不同的字母来区分，否则会引起错误【例5】判断命题的真假，并说明理由错解：此命题是真命题理由如下：x与的范围一致，题中命题是真命题反思：化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可1下列集合的表示方法正确的是()A1,2,2B全体实数C有理数D不等式x250的解集为x2502方程组的解集是()A(5,4) B5，4C(5,4) D(5，4)3下列关系式中，正确的是()A2,33,2B(a，b)(b，a)Cx|yx21y|yx1Dy|yx21x|yx14用列举法表示集合Ay|yx21，2x2，且xZ是_5已知集
11、合Mx|(xa)(x2axa1)0中各元素之和等于3，则实数a的值为_6用描述法表示下列集合(1)大于2的整数a的集合；(2)两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2的交点的集合；(3)1,22,32,42，；(4).答案：基础知识梳理1有限集花括号“ ”【做一做11】0,2,4,6,8,10【做一做12】1,2 012x22 011x2 012(x1)(x2 012)0，x1或x2 012.方程x22 011x2 0120的解组成的集合为1,2 0122具有不具有特征性质xI|p(x)描述法【做一做21】xN|x4【做一做22】D典型例题领悟【例1】解：(1)0,1,4,9,16；(2
12、)1,2；(3)(3,2)【例2】解：(1)x|x3k2，kN(2)有意义，实数x的集合为x|x1，且x2，xR(3)(x，y)|xy0，xR，yR(4)(x，y)|xy0【例3】解：(1)x1，x1；(2)w，e，l，c，o，m，t，B，i，j，n，g；(3)(x，y)|yx，xR，yR；(4)设点P为所求的圆上的任意一点，则P|PA|r【例4】错因分析：不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个集合中的a是一致的，从而由mA，得m2a，aZ.由nB，得n2a1，aZ.所以得到mn4a1，aZ.进而错误判断mnC.而实际上，三个集合中的a是不一致的应由mA，设m2a1，a1Z.由nB，设n2
13、a21，a2Z.所以得到mn2(a1a2)1，且a1a2Z，所以mnB，故正确答案为B.正解：B【例5】错因分析：误认为两集合的代表元素一样，而导致错误，实际上的代表元素是x，而的代表元素是，因而构成两集合的元素不同正解：此命题是假命题理由如下：xN，且Z，1x1,2,3,6.x0,1,2,5.0,1,2,5而6,3,2,1，题中命题是假命题随堂练习巩固1C2D(5，4)一定要注意解集是点集3C选项A中，2,33,2，集合元素具有无序性；选项B中，集合中的点不同，故集合不同；选项C中，x|yx21y|yx1R；选项D中，y|yx21y|y1，而x|yx1R，所以两集合不是同一个集合故选C.41,0,3x2，1,0,1,2，对应的函数值y3,0，1,0,3，集合A用列举法表示为1,0,352或根据集合中元素的互异性，当方程(xa)(x2axa1)0有重根时，重根只能算作集合的一个元素，Mx|(xa)(x1)x(a1)0(1)当a1时，M1,0，不符合题意；(2)当a11，即a2时，M1,2，符合题意；(3)当a1，且a2时，a1a13，则a，所以M，符合题意综上，a2或.6解：(1)aZ|a2，或a|a2，aZ，或大于2的整数(2).(3)x|xn2，nN(4).