1、3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量课时过关能力提升1.在正三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A解析:设BC的中点为D,则AD平面BB1C1C,故AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角.在RtADC1中,ADsinAC1D答案:C2.已知AB平面于B,BC为AC在内的射影,CD在内,若ACD=60,BCD=45,则AC和平面所成的角为()A.90B.60C.45D.30解析:设AC和平面所成的角为,则cos 60=cos cos 45,故cos =45.答案:C3.一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面,
2、那么这两个二面角()A.相等B.互补C.关系无法确定D.相等或互补答案:D4.在边长为a的正三角形ABC中,ADBC于D,沿AD折成二面角B - AD - C后,BCA.30B.45C.60D.90解析:BDC就是二面角B - AD - C的平面角,易知BCD为等边三角形,则BDC=60.答案:C5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则面APB和面CDP所成二面角的度数是()A.90B.60C. 45D. 30解析:APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.答案:C6.已知直线l的方向向量v=(1,-1,-2),平面的法向量u=(-2,-1,1),则l与的夹角
3、为.解析:cossin l与的夹角).=30.答案:307.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内,若AC与成30角,则斜边上的中线CM与平面所成的角为.解析:作CD于D,连接DA,DB,DM,则CAD=30,CDsinCMDCMD=45,即CM与平面所成的角为45.答案:458.若P是ABC所在平面外一点,且PBC和ABC都是边长为2的正三角形,PA解析:设BC的中点为D,连接PD,AD,则PDBC,ADBC,所以PDA就是二面角P - BC - A的平面角.易知PDA=90.答案:909.在三棱锥P - ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,AB=BC=分析:本题可以
4、建立适当坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求.解:由题意PA=PB=PC,点P在ABC内的射影O为ABC的外心,即点P在ABC内的射影O到点A,B,C的距离相等,又面PAC面ABC,所以O为AC的中点,且ABC=90,以O为原x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0设n=(x,y,z)为面PBC的法向量,可求得n=设AC与平面PBC所成的角为,则sin =|cosn=30.故AC与平面PBC所成角的大小为30.10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AFAEF翻折成AEF,使平面AEF平面BEF,求二面角A - FD -
5、C的余弦值.分析:本题可以建立适当的直角坐标系,利用平面的法向量来求;也可作出二面角的平面角来求.解法一取线段EF的中点H,连接AH,由题意,知AE=AF及H是EF的中点,所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF,AH平面AEF,所以AH平面BEF.如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(2,2,设n=(x,y,z)为平面AFD的一个法向量,所取zn=(0,-2又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),故cos所以二面角A - DF - C的余弦值解法二取线段EF的中点H,AF的中点G,连接AG,AH,GH.由题意,知AE=AF及H是EF的中点,所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF,AH平面AEF,所以AH平面BEF.又AF平面BEF,故AHAF.又因为G,H分别是AF,EF的中点,易知GHAB,所以GHAF,于是AF平面AGH,所以AFAG.所以AGH为二面角A - DF - C的平面角.在RtAGH中,AH=所以cosAGH故二面角A - DF - C的余弦值