1、第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理(对应学生用书(文)、(理)5354页)考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修5P10习题1.1第1(2)题改编)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_答案：2解析：在ABC中， AC2.2. (必修5P24复习题第1(2)题改编)在ABC中，a，b1，c2，则A_答案：60解析：由余弦定理，得cosA， 0A， A60.3. (必修5P17习题1.2第6题改编)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是_三角形答案
2、：等腰解析：因为a2bcosC，所以由余弦定理得a2b，整理得b2c2，故此三角形一定是等腰三角形4. (必修5P17习题6改编)已知ABC的三边长分别为a、b、c，且a2b2c2ab，则C_答案：60解析：cosC. 0C180， C60.5. (必修5P11习题1.1第6(1)题改编)在ABC中，a3，b2，cosC，则ABC的面积为_答案：4解析： cosC， sinC， SABCabsinC324.1. 正弦定理：2R(其中R为ABC外接圆的半径)2. 余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC或cosA，cosB，cosC.3. 三角形
3、中的常见结论(1) ABC.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：ABabsinAsinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4) ABC的面积公式 Sah(h表示a边上的高)； SabsinCacsinBbcsinA； Sr(abc)(r为内切圆半径)； S，其中P(abc)备课札记题型1正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c.解：由正弦定理，得，即， sinA. ab， A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.在ABC中，(1) 若a4，B30，C105，则b_(2) 若b3，c，
4、C45，则a_(3) 若AB，BC，C30，则A_答案：(1) 2(2) 无解(3) 45或135解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由B30，C105，得A45.由正弦定理，得b2.(2) 由正弦定理得sinB1， 无解(3) 由正弦定理，得， sinA. BCAB， AC， A45或135.题型2余弦定理解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1) 求角B的大小；(2) 若b，ac4，求ABC的面积解：(1) 由余弦定理知：cosB，cosC.将上式代入，得，整理得a2c2b2ac. cosB. B为三角形的内角， B.(2) 将b，ac4，B代入b2a2c22
5、accosB，得b2(ac)22ac2accosB， 13162ac， ac3. SABCacsinB.(2014南京期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C.(1) 若ABC的面积等于，求a、b；(2) 若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以sinBcosA2sinAcosA.当cosA0时，A，所以B，所以a，b.当cosA0时，得sinB2sinA，由正
6、弦定理得b2a，联立方程组解得a，b.所以ABC的面积SabsinC.题型3三角形形状的判定例3在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状解：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)， 2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA， sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0， sin2Asin2B.由02A2，02B2得2A2B或2A2B，即ABC为等腰或直角三角形已知ABC中，试判断ABC
7、的形状解：由已知，得， .由正弦定理知， . sinCcosCsinBcosB，即sin2Csin2B，因为B、C均为ABC的内角所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，故三角形为等腰或直角三角形题型4正弦定理、余弦定理的综合应用例4在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项(1) 求B的大小；(2) 若ac，b2，求ABC的面积解：(1) 由题意，得acosCccosA2bcosB.由正弦定理，得sinAcosCcosAsinC2sinBcosB，即sin(AC)2sinBcosB. ACB，0B， sin(AC)sinB0. c
8、osB， B.(2) 由B，得，即， ac2. SABCacsinB.已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosCasinCbc0.(1) 求A；(2) 若a2，ABC的面积为，求b、c.解：(1) 由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin.又0A0)，则b3t，c7t，在ABC中，由余弦定理得cosC，所以C.2. (2013贵州)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2，B，C，则ABC的面积为_答案：1解析： b2，B，
9、C， 由正弦定理得，解得c2.又A(BC)，SABCbcsinA221.3. (2013盐城期末)在ABC中，若9cos2A4cos2B5，则_答案：解析：由9cos2A4cos2B5，得9(12sin2A)54(12sin2B)，得9sin2A4sin2B，即3sinA2sinB.由正弦定理得.4. 已知ABC中，B45，AC4，则ABC面积的最大值为_答案：44解析：AC2AB2BC22ABBCcos45，即16c2a22accos45，则有2ac2accos4516，即ac8(2)Smaxacsin458(2)44.1. (2014南通一模)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的
10、边，且c3bcosA，tanC.(1) 求tanB的值；(2) 若c2，求ABC的面积解：(1) 由正弦定理，得sinC3sinBcosA，即sin(AB)3sinBcosA.所以sinAcosBcosAsinB3sinBcosA.从而sinAcosB4sinBcosA.因为cosAcosB0，所以4.又tanCtan(AB)，由(1)知，解得tanB.(2) 由(1)，得sinA，sinB，sinC.由正弦定理，得a.所以ABC的面积为acsinB2.2. (2014苏州期末)在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcb.(1) 求角A的大小；(2) 若a，b4，求边c
11、的大小解：(1) 用正弦定理，由acosCcb，得sinAcosCsinCsinB. sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC， sinCcosAsinC. sinC0， cosA. 0A， A.(2) 用余弦定理，得a2b2c22bccosA. a，b4， 1516c224c.即c24c10.则c2.3. 在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1) 若c2，C，且ABC的面积为，求a、b的值；(2) 若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状解：(1) c2，C， 由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2ab4.又ABC的面积为， absinC
12、，即ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由sinCsin(BA)sin2A，得sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA， cosA(sinAsinB)0， cosA0或sinAsinB0.当cosA0时， 0A， A，ABC为直角三角形；当sinAsinB0时，得sinBsinA，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形4. 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，b2，cosC.求：(1) ABC的周长；(2) cos(AC)的值解：(1) 因为c2a2b22abcosC1444.所以c2.所以
13、ABC的周长为abc1225.(2) 因为cosC，所以sinC.所以sinA.因为ac，所以AC，故A为锐角，所以cosA.所以cos(AC)cosAcosCsinAsinC.1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解备课札记