1、习题课3竖直面内的圆周运动问题学习目标1.科学思维了解竖直面上圆周运动的两种基本模型2.科学思维掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析3.科学思维学会分析圆周运动问题的一般方法竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型轻绳模型(如图所示)的最高点问题1绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)2在最高点的动力学方程FTmgm.3在最高点的临界条件FT0，此时mgm，则v.v时，拉力或压力为零v时，小球受向下的拉力或压力v时，小球不能达到最高点即轻绳模型的临界速度为v临.【例1】一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m0.5 kg，水的重
2、心到转轴的距离l50 cm.(g取10 m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v3 m/s，求水对桶底的压力大小思路点拨：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用解析(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小此时有：mgm，则所求的最小速率为：v02.24 m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FNmgm，代入数据可得：FN4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN4 N.答案(1)2.2
3、4 m/s(2)4 N跟进训练1如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()AB2C. DC小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mgm2R，解得，选项C正确竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型1最高点的最小速度如图所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v0，此时小球受到的支持力FNmg.2小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况(1)v，杆或管的外侧对球产生
4、向下的拉力或弹力，F随v增大而增大(2)v，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0.(3)0v，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小【例2】长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m2 kg的小球求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.解析小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2.0 r/s时，2n4 rad/s由牛顿第二定律得FmgmL2故小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.542210)N138
5、N即杆对小球提供了138 N的拉力由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上(2)杆的转速为0.5 r/s时，2n rad/s同理可得小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.5210)N10 N.力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下答案(1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下(1)注意r/s与rad/s的不同(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力. (3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法跟进训练2(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑
6、圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是()Av的极小值为Bv由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大C当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大D当v由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大CD由于轨道可以对球提供支持力，小球过最高点的速度最小值为0，A错误；当0v时，小球受到的弹力为支持力，由牛顿第二定律得：mgFNm，故FNmgm，v越大，FN越小；当v时，小球受到的弹力为外轨对它向下的压力，即FNmgm，v越大，FN越大，故B错误，C、D正确1如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若
7、轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()A0BCDC由题意知Fmgm即2mgm，故速度大小v，C正确2(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是()A小球过最高点时，绳子张力可能为零B小球过最高点时的最小速度为零C小球刚好过最高点时的速度为D小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反AC绳子只能提供拉力作用，其方向不可能与重力相反，D错误；在最高点有mgFTm，拉力FT可以等于零，此时速度最小为vmin，故B错误，A、C正确3(多选)如图所示
8、，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是()A小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下B小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上C小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上D小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力ACD设管道的半径为R，小球的质量为m，小球通过最低点时速度大小为v1，根据牛顿第二定律：Nmgm可知小球所受合力向上，则管道对小球的支持力向上，则小球对管道的压力向下，故A正确，B错误；最高点时速度大小为v2，根据牛顿第二定律：mgNm，当v2时，N0，说明管道对小球无压力；当v2时，N0，说明管道对小球的作用力向下，则小球对管道的压力向上，故C、D正确所以A、C、D正确，B错误4如图所示，长为L0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m2 kg的小球，g取10 m/s2.(1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大；(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大解析(1)小球在最低点受力如图甲所示：甲乙合力等于向心力：FAmgm解得：FA56 N.(2)小球在最高点如图乙所示：则：mgFBm2L解得：4 rad/s.答案(1)56 N(2)4 rad/s