1、热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合高考定位 该部分主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用.对于带有绝对值不等式的求解，主要考查形如|x|a或|x|a及|xa|xb|c或|xa|xb|c的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法.试题多以填空题或解答题的形式出现.对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题多以解答题为主.对于不等式的证明问题，此类问题涉及到的知识点多，综合性强
2、，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合真 题 感 悟 1.(2015山东卷)不等式|x1|x5|0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)x12a，xa.所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a13，0，B(2a1，0)，C(a，
3、a1)，ABC 的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26，故 a2.所以 a 的取值范围为(2，).热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合考 点 整 合1.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)a f(x)0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合2.绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|
4、.此性质可用来解不等式或证明不等式.3.基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立.定理 2：如果 a，b 为正数，则ab2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立.定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc33 abc，当且仅当abc 时，等号成立.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合4.柯西不等式(1)设 a，b，c，d 为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立.(2)若 ai，bi(iN*)为实数，则(21niia)(21niib)(1niiia b)2 当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数
5、 k，使得 aikbi(i1，2，n)时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合5.不等式的性质，特别是基本不等式链11a1b abab2 a2b22(a0，b0)，在不等式的证明和求最值中经常用到.6.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合【例 11】已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x
6、)|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围.热点一 绝对值不等式 微题型1 考查绝对值不等式的解法 解(1)当 a3 时，f(x)2x5，x2，1，2x3，2x5，x3.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x0 时，4ax2a，得 a2.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合(2)记 h(x)f(x)2 f x2，则 h(x)1，x1，4x3，1x12，1，x12，所以|h(x)|1，|f(x)2 f x2|k 恒成立，因此 k1.探究提高 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，
7、从而求出所求参数的值.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合【训练 1】已知函数 f(x)|xa|.(1)若不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，求实数 a 的值；(2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围.解(1)由 f(x)3 得|xa|3，解得 a3xa3.又已知不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，所以a31，a35，解得 a2.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合(2)法一 当 a2 时，f(x)|x2|，设 g(x)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|2x1，x2.所以当 x5；当3x2 时
8、，g(x)5；当 x2 时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为 5.从而若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合法二 当 a2 时，f(x)|x2|.设 g(x)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合热点二 不等式的证明【例 2】设 a
9、，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc 3；(2)abcbaccab3(a b c).证明(1)要证 abc3，由于 a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca).热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合即证：a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)证得.原不等式成立.(2)abcbaccababcabc.由于(1)中已证 abc 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abca b
10、 c.即证 a bcb acc ab1，即证 a bcb acc ababbcca.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合而 a bc abacabac2，b acabbc2，c abbcac2.a bcb acc ababbccaabc 33 时等号成立.原不等式成立.探究提高 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合【训练 2】已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1，1.(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c 大于 0，且1a 12b 13cm，求证：a2b3c9.(1
11、)解 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解，得 m0 且其解集为x|mxm.又 f(x2)0 的解集为1，1，故 m1.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合(2)证明 由(1)知1a 12b 13c1，且 a，b，c 大于 0，a2b3c(a2b3c)1a 12b 13c32ba a2b 3ca a3c 3c2b2b3c322ab2ab23ca a3c23c2b2b3c9.当且仅当 a2b3c13时，等号成立.因此 a2b3c9.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合热点三 柯西不等式【例 3】(2015陕西卷)已知关于 x 的不等式|xa|
12、b 的解集为x|2x4.(1)求实数 a，b 的值；(2)求 at12 bt的最大值.解(1)由|xa|b，得baxba，则ba2，ba4，解得 a3，b1.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合(2)3t12 t 3 4t t（3）212（4t）2（t）22 4tt4，当且仅当 4t3 t1，即 t1 时等号成立，故(3t12 t)max4.探究提高 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合【训练 3】(2015福建卷)已知 a0，b0，
13、c0，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4.(1)求 abc 的值；(2)求14a219b2c2 的最小值.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合解(1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb 时，等号成立.又 a0，b0，所以|ab|ab.所以 f(x)的最小值为 abc.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc4.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合(2)由(1)知 abc4，由柯西不等式得14a219b2c2(491)a22b33c1 2(abc)216，即14a219b2c287.当且仅当12a2 13b3 c
14、1，即 a87，b187，c27时等号成立.故14a219b2c2 的最小值为87.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合1.证明绝对值不等式主要有三种方法 (1)利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明.2.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法.(2)f(x)a恒成立f(x)maxa；f(x)a恒成立f(x)mina.热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
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