1、第2课时 复数的乘除运算基础认知自主学习【概念认知】1复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则z1z2(abi)(cdi)_(acbd)(adbc)i(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2_结合律(z1z2)z3_乘法对加法的分配律 z1(z2z3)_z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3(3)复数的乘方复数的乘方是相同复数的积，即对任何 z，z1，z2C 及 m，nN*，则有：zmzn_，(zm)n_，(z1z2)n_zmnzmnnn12z z2复数除法的运算法则(1)共轭复数的概念如果两
2、个复数满足实部_，虚部互为_，那么称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用_表示即 zabi，则 z _相等 相反数zabi(2)复数除法运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，且 cdi0)，则z1z2 abicdi _(cdi0).2222acbdbcad icdcd3in(nN*)的周期性计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方，in(nN*)有如下性质：i1i，i21，i3ii2i，i4i3ii21，从而对于任何nN*，有i4n_，i4n1_，同理可证i4n2 _，i4n3 _，i4n41.上述公式中，说明in(nN*)具有周期性，且最小正周期是_，n可以推广到整数集1i1i
3、4【自我小测】1i 为虚数单位，1i1i2()A1 B1 Ci Di【解析】选 A.1i1i2（1i）2（1i）2 2i2i1.2(教材练习改编)复数 21i(i 为虚数单位)的共轭复数是()A1i B1i C1i D1i【解析】选 B.化简可得 z 21i 21i1i 1i1i，所以 z 的共轭复数为 1i.3若 21i abi(i 为虚数单位，a，bR，则 ab_【解析】因为 21i 2（1i）（1i）（1i）1i，所以 1iabi，所以 a1，b1，所以 ab2.答案：24(2020江苏高考)已知 i 是虚数单位，则复数 z1i2i的实部是_【解析】z1i2i3i，则实部为 3.答案：3
4、5若复数 z 满足 iz12i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_【解析】因为 iz12i，所以 z12ii2i，故 z 的实部为 2.答案：26定义运算a bc dadbc，则符合条件2 1z zi1i 的复数 z_【解析】根据题中条件可有，2ziz1i，z1i2i1 分子分母上下同时乘以(2i1)得i35，所以化简为35 15 i.答案：35 15 i7已知复数 z123i，z2155i2i 2.求：(1)z1z2；(2)z1z2；(3)z1z2.【解析】z2155i（2i）2 155i34i 5（3i）（34i）（34i）（34i）515i513i.(1)z1z2(23i)(13i
5、)3.(2)z1z223i13i299i79i.(3)z1z2 23i13i（23i）（13i）（13i）（13i）293i101110 310 i.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1(2021全国乙卷)设 iz43i，则 z()A34i B34iC34i D34i【解析】选 C.在等式 iz43i 两边同时乘 i 得，z4i3，所以 z34i.2已知复数 z 满足 z(1i)1i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为()Ai Bi C1 D1【解析】选 D.因为复数 z 满足 z(1i)1i，所以 z1i1i 1i 21i 1ii，所以 z 的虚部为1.3(2020全国卷)复数 z(1
6、i)1i，则 z()A1i B1i Ci Di【解析】选 D.因为 z 1i1i（1i）2（1i）（1i）2i2i，所以 zi.4复数 z 32ai，aR，且 z212 32i，则 a 的值为()A1 B2 C12 D14【解析】选 C.由 z 32ai，aR，得 z23222 32ai(ai)234 a2 3 ai，因为 z212 32i，所以34a212，3a 32，解得 a12.5若 ai2bi(a，bR)，则(abi)2()A54i B54iC34i D34i【解析】选 D.因为 ai2bi，所以 a2，b1，所以(zi)234i.6.（1i）3（1i）2()A1i B1iC1i D1
7、i【解析】选 D.原式（1i）（1i）2(1i)i2(1i)1i.二、填空题7设复数 z5i1i3(i 是虚数单位)，则 z 的共轭复数z _【解析】因为复数 z5i1i3 5i1i（5i）（1i）（1i）（1i）23i，所以 z 的共轭复数z 23i.答案：23i8若 2i(i 是虚数单位)是关于 x 的实系数方程 x2mxn0 的一个根，则 mn 等于_【解析】因为 2i 是关于 x 的实系数方程 x2mxn0 的一个根，所以(2i)2m(2i)n0，所以 2mn3(4m)i0，所以2mn30，4m0，所以m4，n5，mn1.答案：19若复数 z 满足 iz12 z，则 z_【解析】设 z
8、abi，则 aib12(abi)，所以a2b，b12a，所以 a23，b13，所以 z23 13 i.答案：23 13 i10已知复数 z143i，z212i，则 z1z2_；z1z2 _【解析】z1z2(43i)(12i)48i3i6211i，z1z2 43i12i（43i）（12i）（12i）（12i）105i52i.答案：211i 2i三、解答题11计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2；(3)1i1i62 3i3 2i.【解析】(1)(2i)(2i)4i24(1)5.(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.(3)原式（1i）226i3 2i3 2ii6i1i.1
9、2计算：1i1i1i1i21i1i31i1i10.【解析】因为1i1i i，所以原式ii2i3i10i12310i55i3i.【综合突破练】一、选择题1已知 z 是 z 的共轭复数，若 z z i22z，则 z()A1i B1iC1i D1i【解析】选 A.设 zabi(a，bR)，则 z abi，代入 z z i22z 中得，(abi)(abi)i22(abi)，所以 2(a2b2)i2a2bi，由复数相等的条件得2a2，a2b22b，所以a1，b1.所以 z1i.2已知复数 z3i（1 3i）2，z 是 z 的共轭复数，则 z z 等于()A14 B12 C1 D2【解析】选 A.方法一：
10、因为 z3i（1 3i）2 3i2i（1 3i）2 i（1 3i）（1 3i）2 i1 3i i（1 3i）4 34i4，所以 z 34i4，所以 z z 14.方法二：因为 z3i（1 3i）2，所以|z|3i（1 3i）2|3i|（1 3i）2|24 12，所以 z z 14.3若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”已知 za12i bi(a，bR)为“理想复数”，则()Aa5b0 B3a5b0Ca5b0 D3a5b0【解析】选 D.因为 za12i bia（12i）（12i）（12i）bia5 2a5 bi.由题意知，a5 2a5 b，则 3a5b0.【误区警示】解此
11、题时，一定要特别注意“理想复数”与共轭复数的区别，注意共轭复数的思维定式4(多选)已知集合 M|m min，nN，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于集合 M 的是()A1i1iB1i1iC1i1iD1i2【解析】选 BC.根据题意 Mmmin，nN 中 n4k()kN时，in1；n4k1()kN时，ini；n4k2()kN时，in1；n4k3()kN时，ini，所以 M1，1，i，i.选项 A 中1i1i2M；选项 B 中，1i1i 1i 21i 1iiM；选项 C 中，1i1i 1i 21i 1iiM；选项 D 中1i22iM.二、填空题5若复数 z7ai2i 的实部为 3，则 z 的虚部
12、为_【解析】z7ai2i（7ai）（2i）（2i）（2i）（14a）（72a）i514a572a5i.由题意知14a53，所以 a1，所以 z3i.所以 z 的虚部为 1.答案：16已知：复数 z1i2 2i1i，其中 i 为虚数单位若 z2azb23i，则实数 a_，b_【解析】z1i2 2i1i 2ii1i13i，由 z2azb23i得(13i)2a(13i)b23i，即8ab63ai23i所以8ab2，63a3，解得a3，b7.答案：3 77已知 z 为复数，且 z2i 和 z2i 都为实数，则 z_【解析】设 zabi(a，bR)，则 z2ia(b2)i 为实数，所以 b20，所以 b
13、2，又 z2i abi2i（abi）（2i）52ab5a2b5i 为实数，所以a2b50，所以 a2b，所以 a4，所以 z42i.答案：42i8已知复数 z 满足(1i)z13i(i 是虚数单位)，若复数(1ai)z 是纯虚数，则实数a 的值为_；若复数 z 的共轭复数为z，则复数 zz1 _【解析】解得 z12i，因为复数(1ai)z 是纯虚数，则(1ai)(12i)12a(a2)i，所以12a0，且a20，所以实数 a 的值为12.因为 z 的共轭复数为z 12i，所以复数 zz1 112 i.答案：12 112 i三、解答题9已知 z 为复数，z1i为实数，z1i 为纯虚数，求复数 z
14、.【解析】设 zabi(a，bR)，则z1ia1bii(a1bi)(i)b(a1)i.因为z1i为实数，所以 a10，即 a1.又因为 z1i（abi）（1i）（1i）（1i）（ab）（ab）i2为纯虚数，所以 ab0，且 ab0，所以 b1.故复数 z1i.10设 z 是虚数，z1z 是实数，且12.(1)求 z 的实部的取值范围(2)设 1z1z，求证：为纯虚数；(3)求 2 的最小值【解析】(1)因为 z 是虚数，所以可设 zxyi，x，yR，且 y0，所以 z1z xyi1xyi xyixyix2y2 xxx2y2 yyx2y2i，可得yyx2y20，y0，x2y21，此时，2x12
15、x1；(2)因为 1z1z 1（xyi）1（xyi）1y2x22yi12xx2y2 y1x i，因为 y0，12 x1，所以 为纯虚数；(3)22x y1xi2，然后化简和计算得到 22(x1)21x 322（x1）21x 31.当且仅当 x0 时等号成立，所以 2 的最小值为 1.(60 分钟 100 分)一、选择题(每小题 5 分，共 45 分，多选题全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)1设 i 是虚数单位，则1i1i2 022()Ai Bi C1 D1素养培优练【解析】选 D.由于1i1i（1i）2（1i）（1i）2i2i，所以1i1i2 022(i)2 0
16、22(i)45052(i)21.2复数 z12ii3的实部为()A2 Bi Ci D1【解析】选 A.因为 z12ii3（12i）ii42i，所以实部为2.3复数 z1i2i的虚部为()A35 i B35 C35 i D35【解析】选 D.z1i2i（1i）（2i）（2i）（2i）15 35 i，复数 z1i2i的虚部为35.4已知复数 z 满足z12i 2i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 是()A43i B43iC4i D4【解析】选 B.因为z12i 2i，所以 z(2i)(12i)43i.5复数 i(1i)2()A2 B2 C2i D2i【解析】选 B.i(1i)2i2i2.6复数
17、z 满足 z1(z1)i，则 z 的值是()A1i B1iCi Di【解析】选 D.因为 z1(z1)i，所以 z1i1i（1i）2（1i）（1i）12ii21i2i，所以 z i.7(多选)下面关于复数：z21i 的叙述中正确的是()Az 的虚部为i B|z|2Cz 的共轭复数为 1i Dz22i【解析】选 BD.z21i 2（1i）21i，则其虚部为1，A 错误；|z|（1）2（1）2 2，B 正确；z 的共轭复数为1i；z2(1i)22i，D 正确8(多选)已知复数 zi12i，则以下说法正确的是()A复数 z 的虚部为i5Bz 的共轭复数 z 25 i5C|z|55D复数 z 的的实部
18、是25【解析】选 CD.因为 zi12i i（12i）（12i）（12i）25 15 i，所以复数 z 的虚部为15，实部是25，所以 A 错误，D 正确z 的共轭复数 z 25 i5，B 错误|z|252152 55，故 C 正确9(多选)若复数 z 21i，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是()Az 的虚部为1 Bz1iCz2 为纯虚数Dz 的共轭复数为1i【解析】选 ABC.因为 z 21i 2（1i）（1i）（1i）22i21i，B 正确；z 的虚部为1，A 正确；因为 z2(1i)22i，故 z2 为纯虚数，C 正确；z 的共轭复数为 1i，D 错误二、填空题(每小题 5 分，
19、共 15 分)10复数2i12i 的共轭复数是_【解析】（2i）（12i）（12i）（12i）5i5 i，故其共轭复数为i.答案：i11若 i 为虚数单位，则复数3（1i）2 _【解析】由题意3（1i）2 312ii2 32i 3i2i2 32 i.答案：32 i12若 z113i，z268i，且1z 1z1 1z2，则 z 的值为_【解析】由 z113i，得1z1 113i 13i（13i）（13i）110 310 i，又由 z268i，得1z2 168i 68i（68i）（68i）68i100 350 450 i，那么1z 1z2 1z1 211i50，所以 z50211i 50（211i
20、）（211i）（211i）100550i12545 225 i.答案：45 225 i三、解答题(每小题 10 分，共 40 分)13已知 z1，z2 满足 z21 z1z2z22 0，且 z20，求复数z1z2.【解析】z21 z1z2z22 0，则z1z22z1z2 10，则z1z2 1 3i2.14设复数 z12ai(其中 aR)，z234i.(1)若 z1z2 是实数，求 z1z2 的值；(2)若z1z2 是纯虚数，求 a.【解析】(1)因为 z12ai(其中 aR)，z234i，所以 z1z25(a4)i，由 z1z2 是实数，得 a4.所以 z124i，z234i，则 z1z2(2
21、4i)(34i)224i；(2)由z1z2 2ai34i（2ai）（34i）（34i）（34i）64a253a825i 是纯虚数，得64a0，3a80，即 a32.15已知 z11i，z222i.(1)求 z1z2；(2)若1z 1z1 1z2，求 z.【解析】(1)因为 z11i，z222i，所以 z1z2(1i)(22i)4.(2)由1z 1z1 1z2，得 z z1z2z1z2，所以 z4（1i）（22i）43i 62i565 25 i.16计算：（12i）i1001i1i521i220.【解析】1i1i（1i）2（1i）（1i）2i2i，1i222i2 i，（12i）i1001i1i521i220(12i)1(i)52i10(1i)2i1012i.