1、湖北省荆州市荆州中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知集合，集合，为自然数集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可.【详解】由题意可得：，故.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题.2.已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用中间值比较所给的数与0、1、2的大小即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由题意可知：，则.故选：B.【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的
2、转化能力和计算求解能力.3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来了赶时间开始加速；（3）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.A. （1）（2）（4）B. （4）（2）（1）C. （4）（3）（1）D. （4）（1）（2）【答案】B【解析】【分析】由实际背景出发确定图象的特征，从而解得【详解】（1）我离开家不久，发现自己把作业本放在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学，中间有回到家的过程，故成立；（2）我出发后，心情轻松
3、，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速，符合；（3）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，符合故选：B【点睛】本题考查了学生的识图与图象的应用4.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图像.已知分别取，四个值，与曲线、相应的依次为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的图像，判断出正确选项.【详解】依题意可知，四条曲线分别表示的图像，当时，幂函数的图像随着的变大而变高，故、相应的依次为，.故选：A.【点睛】本小题主要考查幂函数的图像与性质，考查函数图像的识别，属于基础题.5.若是方程的根，则属于区间（ ）A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】【分析】由题意构造新函数，结合函数零点存在定理即可确定零点所在的区间.【详解】构造函数，则原问题等价于求解函数零点所在的区间.注意到：，结合零点存在定理可得属于区间.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，注意函数的定义域，转化求解即可【详解】函数，令，则有，在定义域内是增函数，只需求解，的增区间即可函数开口向上，对称轴，解得或，增区间为：故选：D【点睛】本题考查了复合函数单调性的求解，根据“同增异减”即可求
5、解属于基础题7.已知偶函数在上递增，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性脱去f符号求解不等式即可确定实数x的取值范围.【详解】函数为偶函数，则不等式等价于，结合函数的单调性脱去f符号可得：，解得：，即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)8.若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为两个函数
6、有交点的问题，然后求解函数的值域即可确定实数m的取值范围.【详解】题中的方程即，则原问题等价于函数和函数在区间上有交点，二次函数开口向上，对称轴为，故时，时，则函数在区间上的值域为，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，二次函数在给定区间求值域的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知，和的图像只可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像.【详解】函数的定义域为，据此可排除选项A,C；函数与的单调性相反，据此可排除选项D，故选：B.【点睛】函数图象的识辨
7、可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项10.已知定义域为的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，若（为自然对数的底），则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由题意首先写出一般函数构造奇函数、偶函数的式子，然后确定题中所给函数需要构造的奇函数、偶函数的解析式即可.【详解】注意到为奇函数，为偶函数，且，故当时，.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的表示方法，函数的奇偶性
8、及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，已知函数，则函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用分离常数法可将函数化简为，进而求得的值域；根据定义可求得的所有可能的值，进而得到函数的值域.【详解】 ，即或 的值域为故选：【点睛】本题考查新定义运算问题的求解，关键是能够通过分离常数的方式求得已知函数的解析式，再结合新定义运算求得所求函数的值域.12.已知，函数，若存
9、在实数，使得函数与的图像恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先研究函数的图像的性质，然后数形结合得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数m的取值范围.【详解】注意到二次函数开口向上，对称轴为，据此绘制满足题意的函数的图像如图所示：满足题意时，只需当时，即：，由于，故：，整理可得：，结合可得：.即实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查分段函数的性质，数形结合的数学思想，二次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13.、计算 【答案】0【解析】试题分析：-0.1+0.5-0.4=0考点：指数对数的运
10、算。14.对任意实数都有，且当时，则_.【答案】18【解析】【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性即可求得的值.【详解】由题意可知函数为奇函数，故：.故答案为：18【点睛】本题主要考查函数值的求解，函数奇偶性的应用，属于基础题.15.已知，且函数是上的单调函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意分别考查函数在每一段上的单调性和函数在x=0处函数值的性质，得到关于a的不等式，分别求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】由题意可知，当x0时，若函数单调递减，则0a1，且当x=0时应有：，即，解得，综上可得，实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】对于分段函数的单调性，有两
11、种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断16.已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x(0,2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm.如果x12,2，x22,2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_.【答案】5,2.【解析】分析：求出函数的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论.详解：由题意得：在2,2上f(x)值域A为g(x)的值域B的子集. 易得A3,3，Bm1,8m，从而解得5m2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.
12、三、解答题17.已知函数的定义域为，函数的值域为（1）当时，求；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在.【解析】试题分析：（1）由当时，；（2）因为，解得试题解析：（1）由，解得，即当时，因为，所以，即，所以（2）因为，若存在实数，使，则必有，解得故存在实数，使得考点：1、函数的定义域；2、函数的值域；3、集合的基本运算.18.已知幂函数的图像过定点.（1）求的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1)由题意得到关于n的方程，解方程即可确定n的值；(2)将原问题转化为二次函数最值的问题，然后得到关于
13、a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】（1）由题意可得：，解得（2）由（1）得，从而设在区间上的最大值是，由于的图像是开口向上的抛物线，所以又存在使得，所以于是或者解得或,据此可知：.所以，实数的取值范围是【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析19.已知函数（1）若函数的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较与大小，并写出比较过程；（3）若，求a的值.【答案】. 当时，;当时，. 或.【解析】【详解】函数的
14、图象经过，即. 又，所以. ，当时，在上为增函数，.即.当时，在上为减函数，.即. 由知，.所以，（或）.， 或，所以，或.20.已知实数满足：，函数.（1）求实数的取值范围；（2）求函数的最大值与最小值，并求取得最大值与最小值时的值.【答案】（1）；（2）当时，有最小值0，当时，有最大值2.【解析】【分析】(1)由题意化简所给的不等式，得到指数不等式，然后求解指数不等式即可确定实数的取值范围；(2)首先化简函数的解析式，然后结合二次函数的性质和(1)中求得的函数的定义域即可确定函数的最值和函数取得最值时对应的自变量的值.【详解】（1）实数满足，化简可得：，即，得，故得的取值范围为.（2）化简
15、可得：，当时，有最小值0，当时，有最大值2【点睛】本题主要考查指数不等式与二次不等式的解法，二次函数在给定区间求值域的方法，换元的方法与数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.自2018年10月1日起，中华人民共和国个人所得税新规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3超过1500元不超过4500元的部分10超过4500元不超过9000元的部分20超过9000元不超过35000元25如果小李10月份全月的工资、薪金为7000元，那么他应该纳税多少元
16、？如果小张10月份交纳税金425元，那么他10月份的工资、薪金是多少元？写出工资、薪金收入元月与应缴纳税金元的函数关系式【答案】（1）；（2）元；（3）【解析】【分析】由分段累进思想，先算第一部分，再算第二部分，即可得到所求值；考虑第一段1500元的税，再考虑3000元的税，进而算出第三部分的应交的，即可得到所求值；分别考虑交税的前三部分，运用分段累进思想即可得到所求解析式【详解】解：元，应交税为元；小张10月份交纳税金425元，由分段累进可得；，则他10月份的工资、薪金是元；时，可得，即为【点睛】本题考查分段函数的实际应用，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题22.对于定义域为0，1的函
17、数f（x），如果同时满足以下三个条件：对任意的x0，1，总有f（x）0f（1）=1若x10，x20，x1+x21，都有f（x1+x2）f（x1）+f（x2） 成立；则称函数f（x）为理想函数试证明下列三个命题：（1）若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；（2）函数f（x）=2x1（x0，1）是理想函数；（3）若函数f（x）是理想函数，假定存在x00，1，使得f（x0）0，1，且ff（x0）=x0，则f（x0）=x0【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）取特殊值可得f（0）0且f（0）0，故f（0）=0；（2）证明函数f（x）=2x1（x0，1）满足条件；（3）
18、由条件可证得，对任给m、n0，1，当mn时，有f（n）f（m），再用反证法证明试题解析：（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）f（x1）+f（x2），可得f（0）f（0）+f（0）即f（0）0，由已知x0，1，总有f（x）0可得f（0）0，f（0）=0； （2）显然f（x）=2x1在0，1上满足f（x）0；f（1）=1若x10，x20，且x1+x21，则有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）=2x1+x21（2x11）+（2x21）=（2x21）（2x11）0，故f（x）=2x1满足条件，故f（x）=2x1为理想函数 （3）由条件知，任给m、n0，1，当mn时，由mn知nm0，1，f（n）=f（nm+m）f（nm）+f（m）f（m）若f（x0）x0，则f（x0）ff（x0）=x0，矛盾；若f（x0）x0，则f（x0）ff（x0）=x0，矛盾综上有f（x0）=x0点睛：本题属于新定义问题，主要考查学生的阅读理解能力和应用新知识解题的能力，此类问题常以所给新定义为载体，考查其他的数学知识。解决此类问题的关键在于要时刻抓住所给的新定义，并以此为依据在计算、推理的基础上，将所给的问题解决。
